控制系統/方程列表

以下是文字中重要方程的列表，按主題排列。有關這些方程的更多資訊，包括每個變數和符號的含義、這些函式的用途或這些方程的推導，請參閱正文中的相關頁面。

基本方程

[尤拉公式]

$e^{j\omega }=\cos(\omega )+j\sin(\omega )$

[卷積]

$(a*b)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }a(\tau )b(t-\tau )d\tau$

[卷積定理]

${\mathcal {L}}[f(t)*g(t)]=F(s)G(s)$

${\mathcal {L}}[f(t)g(t)]=F(s)*G(s)$

[特徵方程]

$|A-\lambda I|=0$

$Av=\lambda v$

$wA=\lambda w$

[分貝]

$dB=20\log(C)$

基本輸入

[單位階躍函式]

$u(t)=\left\{{\begin{matrix}0,&t<0\\1,&t\geq 0\end{matrix}}\right.$

[單位斜坡函式]

$r(t)=tu(t)$

[單位拋物線函式]

$p(t)={\frac {1}{2}}t^{2}u(t)$

誤差常數

[位置誤差常數]

$K_{p}=\lim _{s\to 0}G(s)$

$K_{p}=\lim _{z\to 1}G(z)$

[位置誤差常數]

$K_{v}=\lim _{s\to 0}sG(s)$

$K_{v}=\lim _{z\to 1}(z-1)G(z)$

[速度誤差常數]

$K_{a}=\lim _{s\to 0}s^{2}G(s)$

$K_{a}=\lim _{z\to 1}(z-1)^{2}G(z)$

系統描述

[一般系統描述]

$y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }g(t,r)x(r)dr$

[卷積描述]

$y(t)=x(t)*h(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )h(t-\tau )d\tau$

[傳遞函式描述]

$Y(s)=H(s)X(s)$

$Y(z)=H(z)X(z)$

[狀態空間方程]

$x'(t)=Ax(t)+Bu(t)$

$y(t)=Cx(t)+Du(t)$

[傳遞矩陣]

$C[sI-A]^{-1}B+D=\mathbf {H} (s)$

$C[zI-A]^{-1}B+D=\mathbf {H} (z)$

[傳遞矩陣描述]

$\mathbf {Y} (s)=\mathbf {H} (s)\mathbf {U} (s)$

$\mathbf {Y} (z)=\mathbf {H} (z)\mathbf {U} (z)$

[梅森公式]

$M={\frac {y_{out}}{y_{in}}}=\sum _{k=1}^{N}{\frac {M_{k}\Delta \ _{k}}{\Delta \ }}$

反饋迴路

[閉環傳遞函式]

$H_{cl}(s)={\frac {KGp(s)}{1+KGp(s)Gb(s)}}$

[開環傳遞函式]

$H_{ol}(s)=KGp(s)Gb(s)$

[特徵方程]

$F(s)=1+H_{ol}$

變換

[拉普拉斯變換]

$F(s)={\mathcal {L}}[f(t)]=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt$

[逆拉普拉斯變換]

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}={1 \over {2\pi }}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }e^{st}F(s)\,ds$

[傅立葉變換]

$F(j\omega )={\mathcal {F}}[f(t)]=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$

[逆傅立葉變換]

$f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{F(j\omega )\right\}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(j\omega )e^{-j\omega t}d\omega$

[星形變換]

$F^{*}(s)={\mathcal {L}}^{*}[f(t)]=\sum _{i=0}^{\infty }f(iT)e^{-siT}$

[Z 變換]

$X(z)={\mathcal {Z}}\left\{x[n]\right\}=\sum _{i=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}$

[逆Z變換]

$x[n]=Z^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz\$

[修正的Z變換]

$X(z,m)={\mathcal {Z}}(x[n],m)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n+m-1]z^{-n}$

變換定理

[終值定理]

$x(\infty )=\lim _{s\to 0}sX(s)$

$x[\infty ]=\lim _{z\to 1}(z-1)X(z)$

[初值定理]

$x(0)=\lim _{s\to \infty }sX(s)$

狀態空間方法

[一般狀態方程解]

$x(t)=e^{At-t_{0}}x(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}e^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau$

$x[n]=A^{n}x[0]+\sum _{m=0}^{n-1}A^{n-1-m}Bu[n]$

[一般輸出方程解]

$y(t)=Ce^{At-t_{0}}x(t_{0})+C\int _{t_{0}}^{t}e^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau +Du(t)$

$y[n]=CA^{n}x[0]+\sum _{m=0}^{n-1}CA^{n-1-m}Bu[n]+Du[n]$

[時變通解]

$x(t)=\phi (t,t_{0})x(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\phi (\tau ,t_{0})B(\tau )u(\tau )d\tau$

$x[n]=\phi [n,n_{0}]x[t_{0}]+\sum _{m=n_{0}}^{n}\phi [n,m+1]B[m]u[m]$

[脈衝響應矩陣]

$G(t,\tau )=\left\{{\begin{matrix}C(\tau )\phi (t,\tau )B(\tau )&{\mbox{ if }}t\geq \tau \\0&{\mbox{ if }}t<\tau \end{matrix}}\right.$

$G[n]=\left\{{\begin{matrix}CA^{k-1}N&{\mbox{ if }}k>0\\0&{\mbox{ if }}k\leq 0\end{matrix}}\right.$

根軌跡

[幅值方程]

$1+KG(s)H(s)=0$

$1+K{\overline {GH}}(z)=0$

[相位方程]

$\angle KG(s)H(s)=180^{\circ }$

$\angle K{\overline {GH}}(z)=180^{\circ }$

[漸近線數量]

$N_{a}=P-Z$

[漸近線角度]

$\phi _{k}=(2k+1){\frac {\pi }{P-Z}}$

[漸近線起點]

$\sigma _{0}={\frac {\sum _{P}-\sum _{Z}}{P-Z}}$

[分離點位置]

${\frac {G(s)H(s)}{ds}}=0$ 或 ${\frac {{\overline {GH}}(z)}{dz}}=0$

李雅普諾夫穩定性

[李雅普諾夫方程]

$MA+A^{T}M=-N$

控制器和補償器

[PID]

$D(s)=K_{p}+{K_{i} \over s}+K_{d}s$

$D(z)=K_{p}+K_{i}{\frac {T}{2}}\left[{\frac {z+1}{z-1}}\right]+K_{d}\left[{\frac {z-1}{Tz}}\right]$

控制系統