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認知與教學/學習數學

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來自華夏公益教科書

數學包含許多研究領域，如幾何、代數、微積分和機率；每個領域都需要掌握專門的概念和程式。透過分析認知過程，可以理解和克服教學和學習數學的挑戰。在本章中，我們研究了為數學教育實踐提供資訊的認知理論和研究。我們討論了皮亞傑的認知發展理論的相關方面以及它所受到的批評。我們解釋了影響個體學生學習數學能力的因素，以及教師在設計課程時如何考慮這些因素。


什麼是數學？

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數學是對數字、數量、幾何和空間以及它們之間的關係和函式的研究。它利用概念性、程式性和陳述性知識的組合。[1] 為了成功解決數學問題，學生需要獲得這套知識。為了充分參與數學學習，學生首先必須獲得概念理解，這需要利用已學概念的背景知識。數學概念理解導致更多數學知識的獲得，有助於構建數學能力的其他方面：積極的態度、程式熟練度、策略能力和適應性推理。每個能力的增長都會導致其他能力的增長，並導致更多知識。也就是說，概念知識增強程式性知識，等等。[2] 例如，數學中有許多不同的演算法，學生需要熟悉它們。當學生清楚地理解數學原理和概念時，他們將能夠為任何數學問題選擇和重新建立適當的演算法。這證明了概念知識和程式性知識之間的聯絡，因為學生可以擁有許多已學的策略，但他們必須選擇正確的策略並在此基礎上進行構建。[3] 此外，在使用某些程式解決複雜的數學問題時，學生常常能夠學到更多。學生可以透過自我質疑錯誤從失敗中吸取教訓，並重建現有的知識。結果，這會增加他們的概念知識。陳述性知識肯定與概念知識和程式性知識有關，因為它要求學生從長期記憶中檢索數學概念（即概念知識）和具體的數學演算法（即程式性知識）。任何一個或所有這些知識領域的不足都可能導致數學學習困難。[4] 因此，這種概念性、程式性和陳述性知識的組合影響著學習，因為它們彼此相關。

認知理論與數學

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皮亞傑的認知發展理論

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讓·皮亞傑指出了從出生到青年期四個主要的認知發展階段，包括感覺運動階段（從出生到2歲）、前運算階段（大約2歲到7歲）、具體運算階段（大約7歲到11歲）和形式運算階段（大約11歲到15歲）。雖然每個人都以不同的方式經歷這些階段，但皮亞傑認為，每個孩子最終都會按順序經歷每個思維階段，而且不會錯過任何階段，因為一個人只有理解了前一個階段才能發展到下一個階段；這只是一個時間問題。

皮亞傑還指出，兒童的學習通常是從出生到2歲透過運動和五感發展起來的。在嬰兒出生後的頭幾周，他們開始學習如何追蹤物體並透過不斷練習來抓住它們，這可以幫助處理和連線視覺和運動行為的大腦部位開始發育。一旦嬰兒認識到學習是透過重複進行的，他們就會開始學習如何提前計劃並透過更有效的方式去獲取他們想要的物體。皮亞傑聲稱，嬰兒在這個階段能夠將數字與物體聯絡起來[5]，也有證據表明，兒童已經獲得了一些關於數字和計數概念的知識[6]。為了在這個階段發展嬰兒的數學技能，教育者可以提供與數字和計數相結合的活動。例如，教育者可以閱讀包含象形圖的書籍。這不僅幫助兒童將物體的圖片與相應的數字聯絡起來，還幫助培養他們的閱讀和理解能力。在此期間，皮亞傑證明嬰兒已經能夠建立自己的處理物體和對其知識的方法，這可以支援反身智力的增長。[7] 由於皮亞傑認為，一個人需要在先前階段獲得的知識基礎上進行構建，因此只有掌握了當前階段才能進入下一個階段。因此，為了增強嬰兒對數字的理解，教育者可以透過開展包含計數的活動來提供數學的一般基礎。

兒童從大約 2 歲到 7 歲開始獲得語言能力、符號思維、自我中心視角和一定程度的邏輯能力。在此期間，兒童學習如何運用與物體（如數字、積木等）相結合的解決問題技能。雖然兒童已經掌握了一些數字概念的知識，但他們的邏輯關聯有限，無法以逆序處理操作。例如，理解 5+3=8 的孩子可能沒有 3+5=8 也成立的思維方式。根據皮亞傑的觀點，這是因為兒童只能識別物體的某個方面或維度，而忽略了其他方面。為了在這個時期增強兒童的數學能力，教育工作者可以要求他們用積木搭建特定的物體。在搭建過程中，他們可以學習如何根據相同特徵對積木進行分組，並幫助他們理解將積木組合在一起總是有多種方法。[8]

根據皮亞傑的觀點，兒童的認知發展在 7 歲到 11 歲之間加速。他們可以開始用五種感官來區分物體，這可以幫助他們同時識別兩個或三個維度的方面。例如，皮亞傑做了一個實驗，將相同量的液體倒入不同大小的容器中。在這個階段的兒童能夠注意到，根據容器的尺寸，液體的液麵高度將不同。在這個時期發生的另一個主要的認知發展是 **分類** 和 **排序** 分隔物體的能力。[9]兒童透過根據相似特徵對物體進行分組來學習分類，並透過根據物體的增加或減少的值（如長度、寬度、體積等）對物體進行分類來獲得排序能力。儘管他們可能在這個階段已經掌握了一些基本的算術運算，但他們不知道如何將這些概念應用於解決數學問題。例如，當要求他們計算由 3 行 5 塊積木組成的積木塊數量時，他們不知道如何在計數時應用乘法。換句話說，算術的抽象概念必須直接與物理上可用的元素和操作相關聯。這也意味著在這個階段他們仍然無法建立一個基於測量的穩定體系。

認知發展的最後階段通常發生在大約 11 歲到 15 歲之間。在這個階段，兒童能夠形成自己的理論並構建自己的數學概念。他們現在也可以將抽象概念與具體情況聯絡起來。例如，當他們遇到代數問題時，他們現在能夠獨立地解決它，而不是像以前一樣需要老師來參考具體情況。他們現在能夠將抽象思維模式發展成具體情況的原因是，他們開始建立自己的推理能力，包括 **澄清**、**推斷**、**評估** 和 **應用**。為了讓學生適應這些概念，老師可以教學生如何將文字題分開，並理解題中相關資訊和不相關資訊的差異。

皮亞傑認為，如果孩子理解一個概念有困難，那是因為他們從問題的定性結構到數學公式的轉換過於迅速。根據皮亞傑的觀點，為了幫助孩子理解這個概念，老師應該找到一種積極的方法，讓孩子自發地探索，這樣他們就可以學習並重構自己的概念，而不是讓老師直接給出答案。[10]

皮亞傑理論的批評

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皮亞傑對認知發展的看法 批評
1）兒童開始發展對客體永久性的理解
  • 皮亞傑忽視了兒童對動機的需求
  • 兒童的記憶容量有所增加
2）兒童的感覺能力和認知發展發生在他們出生後的頭六個月
  • 並非所有學習者都是一樣的，他們可能會根據自己的獨特能力被歸入更高的或更低的類別
3）每個孩子都會以特定的順序經歷這四個階段
  • 皮亞傑忽視了外部因素，如遺傳文化和教育
4）皮亞傑將認知發展劃分為明確的階段
  • 認知發展的階段應該被視為一個漸進和持續的過程

儘管皮亞傑的理論被教師廣泛用於如今課堂上監測學生的認知發展，但他的理論存在爭議。許多教育工作者依靠皮亞傑的理論來衡量學生學習數學的準備程度。另一方面，希伯特和卡彭特建議皮亞傑的理論不是一個有用的指南，因為許多研究已經證明，那些沒有遵循皮亞傑理論的孩子仍然能夠學習數學概念和技能。[11]雖然皮亞傑專注於兒童對知識的內部探索，並認為兒童從出生到 2 歲開始發展對客體永久性的理解（例如如何跟蹤隱藏的物體），但其他研究人員認為皮亞傑忽視了兒童對動機的需求。伯格認為，外部動機和教學也起著重要的作用。[12]卡根認為，嬰兒即使物體發生位移也能伸手去抓的原因是他們的記憶容量有所增加，而不是像皮亞傑指出的那樣，是新的認知結構。[13]皮亞傑也因對兒童能力進行籠統的描述而受到批評。他推斷兒童的感覺能力和認知發展發生在他們出生後的頭六個月。雖然皮亞傑認為每個孩子都必須以特定的順序經歷這些階段，但 Heuvel-Panhuize 認為皮亞傑的理論低估了幼兒的能力。例如，他發現，由於早期兒童教師對認知發展階段的認識深深地依賴於皮亞傑的理論，他們對兒童對符號、計數序列和算術運算的知識的期望可能低於兒童實際的能力。[14] Beger 還認為，他們的感知學習實際上可能在出生前就開始了。[15]儘管根據孩子的年齡，孩子應該處於某個特定的階段，但並非所有學習者都是一樣的。他們可能會根據自己的獨特能力被歸入更高的或更低的階段。例如，Gelman 和 Gallistel 指出，處於前運算階段的兒童能夠在計數物體方面進行抽象思考。此外，皮亞傑沒有闡述兒童的情感和性格發展方面。儘管皮亞傑的理論解釋了一種有效的方法，可以衡量兒童的智力和記憶力發展，但他忽略了個人創造力和社會互動的顯著方面。[16] Christina Erneling 認為，只有在孩子處於正確環境中才能確定發展模式。她認為，任何學習概念都需要一個擴充套件的教育理論，認知發展的一個基本部分是承認個人社會和文化背景的差異。換句話說，皮亞傑似乎忽視了文化的影響。由於他的研究是在西方國家進行的，他的認知發展理論可能只代表西方社會和文化。根據皮亞傑的觀點，科學思維和形式運算只能在某個特定階段達到。另一方面，Edwards 等人認為，皮亞傑的研究不可靠，因為缺乏控制和樣本量小。他認為，在其他文化中，對具體運算的基本水平可能會有更高的重視。[17] Beger 也反駁了皮亞傑的明確階段，他認為皮亞傑明確地解釋了兒童對知識的內部探索，但他傾向於忽視外部因素，如遺傳、文化和教育。他建議，皮亞傑的認知發展階段應該被視為一個漸進和持續的過程，而不是被分為明確的階段。[18]皮亞傑的理論也因沒有提供對他最後階段認知發展的充分描述而受到批評。他認為每個人都將在 11 歲到 15 歲之間發展抽象推理能力。另一方面，Paplia 等人認為，並非每個人都能在這個階段獲得形式運算的技能。即使他們可能沒有獲得這種能力，也不意味著他們不成熟。我們只能得出結論，他們擁有成熟思維的不同階段。[19]因此，更具說服力的認知發展觀點應該被視為一個不規則的過程，因為兒童在每個階段都會獨立地獲得新的技能和不同的行為。[20]

認知領域

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自皮亞傑以來，認知理論及其與學習數學的相關性已經取得了長足的進步。已經進行了大量研究，證明了不同的認知能力與數學能力之間的關係。早在 1978 年，研究人員就開始研究學術能力與大腦相關行為模式之間的關係。1978 年，Rourke 和 Finlayson 研究了 9 到 14 歲的有學習障礙的兒童，發現缺乏算術能力的兒童的表現與他們右半球沒有正常運作時的預期一致。[21]最近的研究已經能夠識別出更具體的認知能力和數學功能缺陷之間重複出現的模式。

2001 年，Hanich、Jordan、Kaplan 和 Dick 研究了二年級學生的數學表現。[22]。孩子們被分成四組，包括正常成績的學生、數學學習有困難的學生、閱讀學習有困難的學生，以及數學和閱讀學習都有困難的學生。每組中的孩子按相同的順序接受七項數學測試，以評估他們在以下方面的表現：a）算術組合的精確計算，b）應用題，c）近似算術，d）位值，e）計算原理，f）強制性數字事實提取，以及 g）書面計算。他們發現，數學和閱讀學習都有困難的孩子在應用題和標準計算（如數字事實、數字組合和程式計算）方面都遇到了困難；而僅僅數學學習有困難的孩子則只在標準計算技能方面遇到了困難。這項研究以及隨後的研究讓研究人員得出結論，數學存在多個認知領域，每個領域使用不同的腦部過程。

Fuchs、Fuchs、Stuebing、Fletcher、Hamlett 和 Lambert 指出，許多研究一直髮現，計算成功的預測因素包括：a）工作記憶，b）視覺空間工作記憶，c）注意力評分，d）語音加工（檢測和區分語音中的差異），以及 e）詞彙量知識（2008 年）[23]。在一項針對隨機抽取的學生進行的長期大型研究中，作者著手確定解決問題和計算是否是數學的不同方面。作者評估了學生的計算能力和應用題解決能力、語音技能、非語言問題解決能力、工作記憶、注意力行為、處理速度和閱讀技能。他們發現，注意力行為和處理速度在計算難度中起著主導作用。

此外，Fuchs 等人還指出，工作記憶、短期記憶、非語言問題解決能力（完成視覺呈現的圖案的能力）、概念形成和語言能力（包括閱讀）都是解決問題能力的預測因素。他們還指出，語言技能的不足是學生表現出解決問題困難的一個辨別因素。

每個認知數學領域的大腦過程

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計算認知能力 解決問題認知能力
計算成功的預測因素 解決問題成功的預測因素
• 工作記憶
  1. 聽覺工作記憶
  2. 視覺空間工作記憶

• 注意力評分

• 處理速度

• 語言能力

  2. 語音加工（檢測和區分語音中的差異）
  3. 詞彙量知識
 • 工作記憶
  1. 聽覺工作記憶

• 短期記憶

• 非語言問題解決能力（完成視覺呈現的圖案的能力）

• 概念形成

• 語言能力

  2. 第一語言、文化差異
  3. 音素、詞彙

工作記憶在數學學習中的重要性

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工作記憶是負責臨時儲存新資訊或先前儲存的資訊的系統，這些資訊被用於完成當前任務。它的容量有限。工作記憶有兩種型別：聽覺記憶和視覺空間記憶。視覺空間記憶被發現對解決計算問題很重要。聽覺記憶被發現對所有數學領域都很重要。個人工作記憶能力的差異可能是由於資訊處理速度、知識水平或忽略無關知識的能力不同。[24] 執行處理活動（如計劃、組織和靈活思考）也可能影響工作記憶。[25]

另一方面，短期記憶負責臨時儲存必須使用但並非必須操作的資訊。同樣，短期記憶的容量有限，可能只有幾秒鐘。這就是我們儲存資訊的地方，例如我們只需要記住幾秒鐘的電話號碼，以便我們撥號。

在他們關於工作記憶與有風險和無風險嚴重數學困難兒童的數學問題解決能力之間關係的研究（2004 年）中，Swanson 和 Beebe-Frankenberger 總結道，工作記憶在解決問題期間整合資訊方面起著至關重要的作用。他們認為，工作記憶對解決問題期間整合資訊非常重要，因為“（a）它儲存最近處理的資訊，以便與最新的輸入建立聯絡，以及（b）它維護資訊的要點，以便構建問題的整體表示”。[26]

H. Lee Swanson 的一項新研究表明，工作記憶的容量調節著認知策略對問題解決準確性的影響。[27] 作者進行了一項干預研究，以確定工作記憶容量在策略干預結果中所起的作用，以及策略指導對應用題解決準確性的作用。

對研究組的所有兒童都測量了言語工作記憶和視覺空間工作記憶。然後，有數學障礙和無數學障礙的兒童被隨機分成三個治療組，進行隨機對照試驗。第 1 組接受了應用題解決的言語策略；第 2 組接受了應用題解決的視覺空間策略；第 3 組接受了言語和視覺空間策略的組合。每組還提供了定期增加應用題中無關資訊的課程計劃。作者新增無關資訊的策略旨在教會孩子們只注意相關資訊。這項策略是受到許多其他研究的啟發，這些研究表明，學會區分相關資訊和無關資訊與有數學障礙風險的學生的解決問題準確性顯著相關。

研究結果支援了策略指導有助於解決準確性的觀點。然而，必須注意的是，策略指導的效果受到工作記憶容量個體差異的調節。工作記憶容量低的兒童沒有像預期的那樣受益。工作記憶容量高、有數學障礙和無數學障礙的兒童更有可能從學習策略中獲益。所有有數學障礙的兒童，無論工作記憶容量高低，都從使用視覺資訊的策略中獲益，但工作記憶容量低的兒童需要言語和視覺策略的組合。最後，結果表明，訓練與工作記憶相關的受控注意過程的學術任務實際上可能會影響以後的工作記憶表現。

這項研究的意義表明，應該評估有數學障礙的學生的工作記憶容量，然後根據他們的工作記憶容量確定解決他們個體問題的策略。

影響數學學習和教學的因素

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個體差異

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每個學習者都有自己獨特的技能、背景知識、文化和興趣。這些方面會影響數學的學習和教學，因為教學策略應該相應地進行調整。

技能差異

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所有學習者都有自己的優勢和劣勢。他們可能在數學的某些方面很擅長，但在另一個領域卻可能無能為力。教師瞭解學生的技能非常重要，因為他們可以利用這些技能來幫助學生改進他們的弱點。如果教師沒有認識到學生的優勢和劣勢，他們可能會給學生提出挑戰。學生在給定的任務中會遇到困難，因為他們沒有必要的技能。因此，甚至可能影響學生的自我效能，並在學生無法完成任務時造成習得性無助。因此，如果教師知道學生擅長什麼，那麼學生在學習新的數學知識時就不會遇到問題。數學問題需要一組先決技能，如簡單的算術、代數和邏輯推理。例如，解決文字題需要對問題的思維表徵和簡單的算術，將文字題轉化為數學方程式。因此，不擅長構建數學方程式的學生將無法解決文字題。[28] 教師應該根據學生擁有的不同先決技能調整他們的教學實踐，因為這些先決技能在解決數學問題中起著重要作用。當學生在數學方面獲得更多概念和程式技能時，他們會變得更加勝任和高效地學習數學。[29] 在現代高中，數學課程有不同的級別，例如初級、原理級和高階。學生根據他們的數學技能水平被相應地安置。否則，他們可以選擇他們想要在哪一級學習。在這種情況下，教師必須支援和評估學生的表現，以確定他們是否適合所選級別。學生不希望參加難度過高的數學課，否則會不堪重負，也不希望太容易，否則會太無聊。因此，通過了解學生的技能，學生可以獲得新的數學知識。

背景知識的差異

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學生的數學知識可能會受到他們的背景知識的影響。事實上，所有學生都有不同的背景知識，因為他們在社會世界中都有不同的經歷。這些現實生活中的經驗至關重要，因為他們從這些觀察中瞭解了數學符號的功能。例如，學生可以從購物中學習簡單的算術，這涉及到處理金錢。學生可以學習如何估計商品的總成本以及他們應該收到的找零。因此，當以與學生背景知識相關的方式教授數學概念時，學生將能夠更容易地理解這些概念。[30] 此外，當他們的數學學習與他們的現實世界情況相關時，學生會更有動力和參與。這是因為他們發現獲得的學習非常有意義和重要，因為它們適用於他們的日常生活。[31] 例如，許多學生可能會發現從教科書中學習數學很無聊或很困難。但是，如果教授數學來解決現實生活中的問題，例如計算銀行的利息收益、生活費用的總成本或撲克遊戲中獲勝的機率。因此，當這些學習與學生先前的經歷相關時，學生將對數學符號和概念有更好的理解。此外，具有挑戰性的數學問題不僅需要數學背景知識，還需要其他學科的一些知識，例如物理術語或化學術語。[32] 數學文字題需要在解決問題之前對文字含義有很好的理解，這意味著學生需要能夠利用他們的語言知識來理解文字。因此，學生的背景知識會影響他們學習數學。例如，大學的許多數學課程都要求先修課程，因為高階數學課程需要對一些基本的數學知識的理解。如果沒有這些背景知識，學生將難以理解新的數學材料。

興趣的差異

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每個人都有不同的興趣。有些學生可能喜歡數學，因為他們天生就擁有或從小就被教導了強大的數學技能，而另一些學生可能討厭數學，因為他們總是面對數學的失敗，這讓他們不願繼續學習。對數學感興趣可以提高學生的學習數學的動力。這個概念是內在動機，因為學生出於自己的興趣想要學習數學。[33] 因此，他們更加投入到任務中，會盡力解決挑戰。學生的興趣與他們對自己認知、能力和學業成就的信念有關。[34] 因此，為了提高學生的學習成績，培養他們對數學的興趣非常重要。事實上，有很多方法可以提高學生對數學的興趣，例如家庭、同學和老師。[35] 家人可以在家裡向學生表達對數學的支援和鼓勵，這可以提高學生對數學的重視。學生通常會進行社會比較，並且喜歡效仿其他同學的行為。因此，同學的影響在學生中起著重要作用。當學生看到他們的同學喜歡解決數學問題或遊戲，例如數獨或拼圖時，學生也會對解決問題感興趣。最重要的是，教師可以在課堂上組織有趣且互動性強的遊戲，同時在教學中表現出熱情。[36] 這將增強學生對學習他們不喜歡學科的興趣。因此，重要的是教師要為學生創造一個愉快的學習環境，以培養他們對數學的興趣。如果學習者討厭數學，那麼教授他們數學將非常困難。他們不會想學習這些材料，而只會因為必須學習而學習。

文化差異

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來自不同文化背景的學生有不同的學業成就水平和不同的目標。[37] 此外，他們對數學的重視程度可能因文化而異。當一種文化重視某個特定學科，例如數學時，這些孩子往往從很小的時候就開始在學校和家裡接受訓練。因此，這些學生將具有更高的數學表現效率。定期學習數學的學生可能具有較高的自動性水平，因為他們對數學問題的練習足夠。他們將能夠選擇合適的策略並更有效地解決數學問題。[38] 反之，當一種文化不認為數學很重要時，這些孩子可能不會受到嚴格的教育，並且會表現出較低的熟練程度。為了在一個學科領域取得優異成績，在學校和家裡練習很重要。僅僅在學校由老師支援下練習數學技能的學生，訓練不足，因為他們在家中沒有得到積極和密集學習的鼓勵。此外，對錶現持積極信念的文化，例如高標準、努力和積極態度，會導致高學業水平。[39] 不同的文化有不同的語言。當然，他們表達數學問題的措辭方式也可能有所不同。研究表明，漢語數字語言（例如，15 是十個五）的結構比印歐語系數字語言（例如，英語 12 是 twelve，而 -teens 詞語經常不一致）更容易學習。[40] 漢語數字語言的讀音通常比英語更快，這會影響學生的數學效率。因此，漢語能夠在短期記憶中更長時間地保留這些數字，尤其是在包含多位數的複雜數學問題中。[41] 在設計教學實踐時，應考慮文化差異，因為不同的學生有不同的文化，這會影響他們解決數學問題的方式。

數學自我效能

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學生在數學上的自我效能是指他們對自己解決數學問題的信心。自我效能高的學生相信自己有能力解決數學問題，他們更有可能參與數學相關任務，並在數學方面取得更高的學業成績。另一方面，自我效能低的學生認為自己沒有能力解決數學問題，他們會在解決數學問題時感到焦慮，並在數學方面取得較低的學業成績。因此，學生在數學上的自我效能與他們在數學上的參與度和學業成績密切相關。

自我效能對數學的影響

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自我效能可以影響學生對數學學習的思考、理解和感受方式。自我效能高的學生相信自己有能力和技能在數學方面取得好成績。[42] 由於他們認為自己有能力解決數學問題，他們會更有動力學習和研究數學。這樣做，學生會遇到自我實現預言，當他們學習後數學成績提高時，這符合他們對自己在數學方面的能力的信念。另一方面，自我效能低的數學學生會認為自己沒有能力在數學方面取得好成績。[43] 帶著這種信念，學生可能會認為即使他們非常努力，也無法取得數學成就。因此，他們在做數學題時動力不足。此外，自我效能低的數學學生在嘗試幾次問題後可能會輕易放棄，因為他們認為自己沒有能力得到正確答案。當他們這樣做時，就會強化他們對自己在數學方面無能為力的信念。學生會遇到自我實現預言，他們會以一種符合他們對自己在數學方面能力低下的信念的方式行事。

評估學生的自我效能

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評估學生的自我效能，瞭解他們在學習特定數學主題時是否有信心很重要，因為這可能會影響他們的表現。評估學生自我效能的一種方法是編制一個第一人稱陳述列表，讓學生為每個陳述評價他們的自我效能。[44] 首先，教師必須確定他們想評估學生在哪個主題上的自我效能。例如，如果主題是求表面積，教師會編制一個關於該主題的第一人稱陳述列表。然後教師可以要求學生使用 0-100 的評分範圍來對陳述進行評分（0 表示陳述不真實，100 表示陳述真實）。[45] 下面的圖表是一個學生對他自己在表面積主題上的自我效能進行評分的示例。

評分（0-100） 陳述
80 我知道為了求平行四邊形的表面積，我需要哪些資訊。
100 如果給出長和寬，我能求出矩形的表面積。
60 我能寫出梯形表面積的公式。
50 我能向我的同學解釋為什麼三角形表面積的公式是 bxh ÷2。
90 我能計算邊長為 4cm 的正方形的面積。

在學生對陳述進行評分後，教師可以透過將分數加起來來估計學生對該主題的信心程度。對於上面的例子，分數將是 80+100+60+50+90。從分數中，教師可以瞭解學生在該主題上的自我效能程度。此外，教師可以將學生在特定主題上的自我效能與他們總體上的數學效能進行比較。此外，在評估學生的自我效能時，教師應該牢記，學生的自我效能可能會影響他們的學習動機和學習行為。因此，教師應該調整他們的教學方法，以提高學生的自我效能，並根據他們的水平進行匹配。

學生自我效能的發展

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班杜拉提出了影響自我效能發展的四大因素。[46] 第一個影響是學生的掌握經驗。[47] 例如，當學生在數學測試中取得成功時，他們在該領域數學的信心水平就會提高。這將對學生未來的表現產生積極的影響，學生會更有信心，因為他們認為自己有能力解決類似的問題。第二個影響是學生的各種經驗。[48] 透過觀察他人，尤其是能力相似的同伴，學生完成特定任務的自我效能會提高。當教師介紹一個新的數學主題時，學生對該主題的難度級別不確定，透過觀察他們的同伴完成問題，他們對理解和完成新主題中問題的信心水平會提高。此外，即使觀看關於數學家做數學的紀錄片也會提高學生的數學自我效能。[49] 第三個影響是社會說服。[50] 這可能是學生與之互動的人（例如他們的父母、同伴或教師）所說的話。教師的積極反饋，例如“你解代數題越來越好了”會增強學生解代數題的信心。第四個影響是學生的生理狀態。[51] 這指的是學生對某種情況的情緒反應。例如，一個學生可能會認為她在數學考試中失敗是因為她沒有數學能力，而實際上是由於她的焦慮。在這種情況下，學生誤判了自己的能力，降低了她對數學的信心。另一種情況可能是學生將她在數學考試中的成功表現視為運氣，而不是她表現良好的能力。在這種情況下，學生失去了建立對數學信心的機會。因此，學生對積極和消極情況的感知都會影響他們建立自我效能的能力。提高學生透過此途徑的自我效能的方法是讓他們認識到自己在數學方面的真實能力，並增強他們對自己能力的積極感受。

Usher 對測量初中生數學自我效能發展四個不同來源進行了研究，他採訪了學生、家長和教師。[52] 研究結果與班杜拉提出的關於自我效能發展的觀點一致，即掌握表現、替代經驗、社會說服和生理狀態都與學生的數學信心有關。對於掌握表現，它表明與學生的自我效能發展有很強的關係。Usher 建議數學教師可以用來透過掌握表現來提高學生信心的策略是“以最大程度地提高掌握經驗的機會來進行教學，無論這些經驗有多小”。[53] 例如，教師可以教學生關於數學主題（如演算法和代數）的校正策略。一個示例問題是 18 ÷ 6 =?。教師可以教學生透過將商乘以除數 (3 x 6= 18) 來自我檢查答案，如果答案與被除數相同，則答案正確。被教導並使用校正策略的學生提高了他們在數學方面的掌握表現。[54] 為學生布置他們在能力範圍內可以完成的具有挑戰性的作業也會提高學生的掌握經驗。

此外，Usher 研究中的一些證據表明，這四個來源之間也存在聯絡。對於替代經驗，研究結果表明，父母和教師的數學經驗都與學生的數學信心有關。研究中一個引人注目的發現是，一個學生將他的父母在數學方面的失敗解釋為他可以不同的證據。[55] 這表明，不僅成功的經驗，與數學有關的不成功的經驗也可能與學生的數學信心有關。研究結果還表明，學生的生理狀態會影響他們如何解釋他人的經驗。對於社會說服，研究結果表明，父母和教師對孩子傳達的資訊可能會極大地影響學生對自己能力的信念。[56] 例如，認為數學是一種固定能力的資訊會導致學生缺乏動力。因此，如果父母告訴他們的孩子，他們要麼有數學能力，要麼沒有，他們的孩子最終可能會相信自己沒有能力表現出色，從而降低了他們對數學的信心。在這種情況下，社會說服可能會影響學生的生理狀態。

教師效能

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教師的教學效能指的是他們相信自己能夠對學生產生重大影響，[57]例如學生的學業成績、自我效能、學習動機、態度和興趣。為了建立高水平的教學效能，教師需要對自己的教學科目持有積極的態度、豐富的教學法知識和內容知識。教師對數學的態度可能會對學生的學習態度和學業成績產生重大影響。一項研究透過對教師進行訪談並讓他們完成教師態度量表，考察了四組教師對數學的態度。[58] 這四組分別是 K-4 年級教師、初中教師、其他教育工作者（校長、其他管理人員）和特殊教育教師。結果表明，在四組教師中，初中教師對數學的態度最為積極（60% 強烈積極，30% 中立，10% 強烈消極），而 K-4 年級教師對數學的態度最為消極（43% 強烈積極，23% 中立，34% 強烈消極）。[59] 結果表明，數學在小學階段的重視程度低於初中階段。當教師對數學持有消極態度時，他們不太可能相信自己能夠改變學生的學習，這與他們的教學效能相關。教師的數學教學法知識和內容知識也是影響他們教學效能的因素。一項最新研究考察了教師的數學教學法知識和數學內容知識與教師的教學效能和學生在代數 I 課程中的成績之間的關係。[60] 研究結果發現，教師的教學效能與他們的教學法知識和內容知識之間存在很強的相關性，這表明，擁有豐富的教學法知識和內容知識的教師對自己的教學更有信心，也更有可能相信自己能夠對學生的學習產生重大影響。[61]

教師的教學效能會以多種不同的方式影響學生的學習。其中一個比較明顯的因素是學生的學業成績。一項研究對 K-12 年級學校教師的自我效能信念進行了考察，發現他們的自我效能信念與學生的成績呈正相關。[62] 除了學生的成績之外，教師的教學效能還會影響學生的學習動機、興趣和學習策略的使用。這是因為教學效能較高的教師更有可能使用表揚而不是批評，更有可能接受學生，更有可能以任務為導向。[63] 另一項研究發現，效能更高的教師會教授給學生更多的學習策略，並擁有更多集中性的學術學習時間，從而提高學生的成績。[64]

自我調節學習

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人們可能認為學生的數學成績低下是由於他們的數學能力低下或沒有學習的結果。但在所有情況下可能並非如此。有時，學生的數學成績低下可能是由於他們缺乏 **自我調節學習** 技能，而沒有使用最合適的學習策略。自我調節學習是指學生能夠控制他們學習的所有方面，從提前計劃到事後如何評價自己的表現。[65] 自我調節學習有三個核心組成部分。第一個是元認知意識，指的是學生如何設定目標以及他們實現目標的計劃。[66] 第二個是策略使用，指的是學生可以應用於學習的一系列自我調節策略。熟練的學習者在學習時會使用更有效的策略。[67] 第三個是動機控制，指的是學生設定目標以及他們對自己學術能力和表現的積極信念。[68] 自我調節學習的能力對學生的數學成績有很大影響。當學生的自我調節學習技能提高時，他們會使用更好的策略，並更好地理解如何學習數學，從而提高他們的數學成績。

數學自我調節學習專案研究

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一項在東南亞進行的研究建立了一個數學自我調節學習專案，結果表明，當學生被教授自我調節學習技能時，他們的數學成績會提高。該研究涉及 60 名小學階段數學成績較低的學生。30 名學生被安排在實驗組，他們需要參加數學自我調節學習專案。

該專案包含 30 個課時，旨在透過提高學生的動機控制和教授他們自我調節策略來提高學生的自我調節學習技能。（第 1-5 課時）專案從培養學生的自我調節信念體系開始。透過講故事和讓學生在小組中分享他們的想法，向學生介紹個人責任、自我效能、學習目標和努力歸因的重要性。[69] （第 6-11 課時）然後，他們向學生介紹了 Zimmerman 提出的 14 種自我調節學習策略。[70] 每個策略都透過強調其在學習數學中的用法和重要性來進行解釋。隨後，學生有機會獨立練習每個策略。（第 12-30 課時）最後，學生被指導在他們常規的數學課中應用自我調節學習策略。此外，他們還必須透過完成目標設定、自我評估和自我強化表格來評估自己的學習進度。在學生完成數學自我調節學習專案的 30 個課時後，他們會進行數學成績測試和自我調節學習測試。結果表明，參加該專案的學生在兩項測試中的得分都高於沒有參加專案的學生。

在數學中應用自我調節學習策略

策略 在數學中的應用
自我評估 學生透過確保自己用正確的步驟獲得了問題的正確答案來進行自我評估。
組織和轉換 學生組織數學問題的能力。一些方法包括使用圖表、方程式和圖形。
目標設定和規劃 學生設定目標以及他們實現目標的計劃。
記錄和監控 課堂筆記。組織方程式。
環境構建 在有利於學習的環境中學習。
自我強化 學生對自己在數學方面的成功或失敗進行自我懲罰或獎勵。
複習和記憶 學生透過做許多不同形式的數學問題來學習。
尋求資訊 學生從非社交資源中尋求資訊。
尋求社會幫助 學生向同伴、老師或其他成年人尋求幫助。
回顧記錄 學生重新閱讀課本、筆記或他們的家庭作業問題。

在參加了 30 個課時的數學自我調節學習專案後，學生在數學成績和自我調節學習測試中表現出顯著提高。[71] 這表明有可能教授數學成績較低的學生自我調節學習技能。當他們掌握了這些技能並被教導關注過程和策略時，他們的數學解題能力得到了提高。隨著能力的提高，學生將逐漸認識到自己能夠在數學方面做得更好。表揚和獎勵自己在學習方面的進步將使學生在數學方面的進步更加顯著。結果，他們的自我效能和他們對數學的興趣將會提高。這創造了一個積極的迴圈：當學生相信自己有能力在數學方面取得成就時，他們將更有動力地使用合適的自我調節學習技能努力學習數學。

在傳統的課堂上，數學被視為以答案為中心的學科，而不是以過程為中心的學科。透過強調速度和準確性，學生會培養複製和記憶數學事實的技能，而不是理解數學。此外，學習只單向流動，從老師到學生。在這種課堂環境中，學生很難應用自我調節學習策略，因為當學生不被允許對自己的學習進行選擇和控制時，他們不太可能學習自我調節的策略，也不太可能自發地啟動和控制各種策略的使用。[72] 因此，為了使學生能夠應用自我調節技能，課堂環境非常重要。培養自我調節學習技能的最佳方法之一是讓學生在一定程度上控制自己的學習。數學老師應該鼓勵知識分享和決策。當學生在設定目標、規劃活動和評估自己的學習表現方面擁有發言權時，他們有機會練習自我調節學習技能，這將對他們的數學成績產生積極的影響。

高年級學生比低年級學生更能運用自我調節學習技能。[73]這是因為年齡較大的學生更能理解自我調節學習理論中提出的概念和想法。此外，一些自我調節學習策略需要先前的知識和技能，例如制定計劃或整理學習材料。因此，高年級學生更容易學習一些自我調節策略。結果，高年級學生在學習自我調節學習技能後，數學成績的提高幅度大於低年級學生。

教學啟示

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數學學習障礙

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最近對認知、工作記憶和數學學習障礙的研究都表明，需要區分數學中的計算和問題解決學習障礙。到目前為止，數學評估一直是通用的，沒有充分考慮每個領域的不同特徵。專業人員在診斷學生時，必須分別考慮這兩種技能。教師在指導有數學學習障礙的學生時，也應考慮不同的領域。以下是一些可能幫助學生克服數學學習障礙的建議和工具：

外部表徵

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外部表徵是數學中一個有用的工具，因為數學問題有時可能難以用大腦進行計算。透過使用外部表徵，學生可以清晰地理解數學概念，從而獲得知識。一些外部表徵包括：已解例題、動畫和圖表。

已解例題

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已解例題是一種有用的教學方法，教師用它來幫助學生學習數學。研究表明，使用已解例題可以提高數學成績較低的學生的學習效率。一個原因是，當學生被要求解決問題時，他們的首要目標是解決問題，而不是學習數學。相反，當學生被提供已解例題時，他們實際上是在學習並嘗試自己解釋這些材料。[74] 因此，已解例題更側重於學生的主動學習。學生通常不理解數學理論或證明，因為它們難以理解。然而，已解例題更容易讓學生學習和理解數學概念。教師無需提供明確的指導，只需向學生展示如何解決數學問題的步驟作為參考。在解決數學問題的步驟中，有詳細的解釋。然後，學生可以自主地自學類似的數學問題。因此，他們可以參考已解例題來解決許多數學問題。[75] 他們可以透過參考教師提供的已解例題，明確地反映他們解決問題的思路。因此，這也有助於學生進行自我調節學習，因為他們在解決問題時運用批判性思維。這種 **元認知** 策略可以幫助學生提高他們的問題解決能力，尤其是在解決數學文字題時。元認知策略包括自我提問、自我評價、總結和說明問題。[76] 這些策略被認為可以幫助學生在構建對已解例題的更深理解的同時獲取知識。研究表明，能夠自學解釋問題並解決問題的學生具有更高的數學成績。當學生自己解釋如何解決數學問題的步驟時，他們是在進行反思性思維，這可以構建超越所提供資訊的更深層次的理解。事實上，學生可以發展出新的和更復雜的數學知識，因為他們將新學到的知識與先前的知識相結合。[77] 此外，已解例題也可以用在小組環境中，學生可以與同學討論如何解決數學問題。研究發現，學生在課堂上使用已解例題有兩種方法。[78] 一種方法是，理解已解例題的學生可以解釋給那些不理解的學生聽。另一種方法是，學生透過使用邏輯和推理能力來共同解釋已解例題。這兩種方法都讓學生在社互動動環境中參與學習，透過討論已解例題的細節。在社交環境中學習可以加強對材料的理解，因為學生正在更深入地闡述這些例子。他們還可以就已解例題中遇到的任何問題提出疑問，以便獲得清晰的理解。[79] 因此，重要的是學生應該在小組中進一步討論已解例題，以反思問題的步驟，併產生超越其現有知識的知識獲取。


動畫

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為了提高學生對學習數學的興趣，動畫是一個很棒的教學工具，可以用它來教授學生。由於數學有時可能相當枯燥乏味，動畫可以吸引學生對學習數學的興趣。最重要的是，動畫聲稱可以促進學生的數學問題解決能力。[80] 在學生解決任何數學問題之前，重要的是學生要識別問題，並知道要解決什麼。因此，當學生髮現問題難以翻譯時，動畫就會變得非常有效，因為它包含了視覺表徵，可以讓學生更容易地解釋問題。相反，當學生只是記下問題時，他們對問題的含義並不完全瞭解，因為他們只是簡單地抄寫文字。透過提供包含問題口頭解釋的圖形表徵，學生可以全面地視覺化問題中發生了什麼。例如，對小學生來說，加減法概念很難用文字解釋。然而，使用動畫來顯示問題發生前後的畫面可以構建清晰的理解。在加減法數學問題的情況下，動畫可以演示物體數量的增加或減少來表示解題過程。此外，動畫可以將抽象的數學理論用可見的物體、具體的結果和特定例項來展示。因此，動畫可以用來用不同的例子來傳達抽象的數學概念。[81] 由於問題的視覺表徵，動畫可以促進對抽象原理的獲取和對已解例題的理解。儘管已解例題被認為是一種有效的教學實踐，但動畫可以用來有效地改進這些例子。[82] 已解例題可能並不總是包含圖形表徵，而只有書面文字。因此，當已解例題的解題步驟都包含視覺表徵時，學生就可以想象問題中發生了什麼。學生還可以用提供的解釋和圖片更好地理解已解例題。因此，建議教師在他們的教學實踐中使用動畫作為教學工具，以完全鞏固學生的數學學習。

圖表

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製作資訊圖表可能是一個非常困難的過程，因為學生不僅需要將口頭資訊轉換成視覺資訊，還需要識別和整合相關資訊，然後才能將其與先前的知識聯絡起來。[83] Larkin 和 Simon 認為，圖表表徵比語句表徵更容易更有效，原因在於三個方面：搜尋、匹配和推斷。首先，它清楚地保留了有關文字問題元素之間的地形和幾何關係的所有資訊。因此，學生可以輕鬆地搜尋特定資訊。其次，由於所有相關元素都分組在一起，因此它顯示了具體表徵和象形圖之間的聯絡。因此，它可以簡化識別相關資訊的流程。除此之外，如果問題是透過繪製圖表來產生的，那麼記憶負荷就會降低，因為學生可以清楚地看到相關資訊之間的必要推斷。[84] 許多研究表明，使用圖表可以提高問題解決的效率。

Banerjee 對使用圖表作為表徵技術對高中生解決數學文字題成績的影響進行了研究。結果證明，圖表方法（例如專注於建立和標註圖表來代表數學）可以顯著提高他們解決數學文字題的成績。[85]

描述了日本和紐西蘭學生使用圖表解決數學文字題的正確答案百分比的結果

在一項研究中，Uesaka、Manalo 和 Ichikawa 對日本和紐西蘭的學生使用圖表解決數學文字題進行了比較。 [86] 日本學生繪製的圖表使用了一個物體問題，而紐西蘭學生繪製的圖表使用了一個二維物體來解決數學文字題。結果表明，紐西蘭學生的正確答案百分比顯著高於日本學生。原因是繪製圖表可以按位置索引句子，使學生能夠明確地觀察特定位置的細節，從而更容易理解問題。 [87]
為了鼓勵學生使用圖表解決數學問題，教師首先應該教會他們：1) 圖表是什麼，2) 使用圖表解決問題的意義，3) 在什麼時候應用圖表解決問題，4) 應該使用哪種型別的圖表解決數學問題，5) 如何生成圖表，以及 6) 如何有效地使用圖表。學生應該瞭解圖表的基本概念的原因是，圖表可能並不適用於所有數學問題。Uesaka 和 Manalo 指出，學生傾向於在解決有關長度和距離的數學文字題時使用圖表，而不是空間問題，因為這通常涉及具體的關係和已知數量。 [88] 教授他們圖表的重要概念之後，教師就可以指導他們進行三步走程式——詢問、執行和檢查。 [89] Van Garderen 和 Scheuermann 建議學生首先集中精力思考需要解決的問題；然後他們應該繪製圖表。最後，他們可以用圖表來解決問題。例如，為了集中精力思考需要解決的問題，學生可以使用關鍵詞法來搜尋資訊，並將從問題中獲得的資訊放置進去。 [90] 總之，圖表在解決數學問題時可以成為一種有效的策略；它不僅可以幫助學生進行批判性思考，還可以幫助他們透過不同的方法來解決問題。

演算法

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演算法是一系列步驟，幫助學生解決數學問題。如果他們遵循這些程式，他們將能夠每次都計算出正確的答案。演算法涉及重複序列，它適用於加減乘除。透過使用演算法，學生可以學習如何解釋每個步驟中發生的事情，並且能夠在最終得到錯誤答案時跟蹤他們的錯誤。它要求他們在解決問題時注意細節，也就是說，當他們進行多步驟的解決方案時，他們需要從長期記憶中回憶起演算法，並在腦海中已經有一組步驟。此外，教師應該指導學生，演算法必須按順序解決，不能跳過任何步驟。例如，當學生學習基本的算術運算時，他們必須學會解決像 5+8×6 這樣的問題的特定順序。學生需要理解，他們必須先進行乘法運算，然後進行加法運算。如果他們能夠遵循正確的順序，他們就能始終得到正確的答案。然而，Paul Cobb 進行了一項關於 1 年級和 2 年級學生解決兩位數加法問題的研究。他注意到，所有學生都能夠透過各種方法正確地解決 16+9。相反，如果要求他們使用傳統的學校演算法（帶有進位）來解決同一個問題，但採用垂直上下文，許多人往往會得到錯誤的答案。他得出結論，導致學生使用傳統的學校演算法更容易犯錯誤的原因是，他們只是強迫自己遵循規則，而不是真正理解演算法的工作原理。 [91] J.S. Brown 和 Burton 發現，有相當數量的學生始終如一地使用一個或多個錯誤版本的演算法來解決他們的數學問題。雖然許多錯誤的演算法可以得出正確的答案，但這並不適用於所有情況。 [92] 例如，一些孩子有一個先入為主的觀念，認為減法演算法意味著從每一列中減去較小的數，而不管哪個數在上面。左側的圖表可以解釋為什麼錯誤的演算法可能無法始終產生正確的解。

一個解釋為什麼錯誤演算法不起作用的圖表

Brown 和 Burton 指出，即使那些對減法演算法有錯誤理解的孩子似乎也理解減法的算術運算，因為這可以引導他們對 a) 和 c) 部分得出正確的解。然而，他們將對 b) 和 d) 部分得出錯誤的答案，因為第二列中頂部的數字小於底部的數字。Nagel 和 Swingen 認為，傳統的帶有進位或借位的演算法只能提高他們的效率和準確性，但卻忽略了學生的意義建構。 [93]
因此，為了有效地處理演算法的序列方面，教育者應該教會學生在應用多步解決問題時使用他們的空間能力。例如，他們需要學習如何正確地對齊和間隔數字，以便成功地解決問題；尤其是在進行列減法、多位數乘法等運算時。教師應該鼓勵學生髮展和使用他們自己的演算法來解決問題。他們可以鼓勵他們的學生將助記符與演算法結合起來；這種方法可以幫助他們記住一些事情，比如解決問題的步驟。 [94] 例如，PEDMAS 可以告訴他們在進行運算時的順序。他們不再只是從左到右進行算術運算，而是理解他們必須先解決括號裡面的部分。 [95] 此外，教師應該要求學生在嘗試求解答案之前先仔細檢視整個問題，然後教他們如何將問題分解成小的部分，並確定哪些部分需要使用演算法。他們還應該知道在每個部分應該使用哪些演算法；最後，他們應該反思每一步的答案。透過展示步驟，學生可以始終跟蹤他們的錯誤，並最終得到正確的解。

文字題策略

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文字題對所有孩子來說都是一個特殊情況，但對於那些有解決問題學習障礙的孩子來說尤其如此。計算題和文字題之間最顯著的區別是增加了語言資訊。換句話說，孩子們必須先閱讀書面文字，過濾資訊，以便將書面問題轉化成一個計算的數字句子。然後，孩子們必須在完成問題的實際數學部分之前，識別出缺失的資訊，以及相關資訊。

文字題對許多學生來說難以理解，但當學習者的第一語言不是英語時，問題就更加複雜了。根據 Jan, S. 和 Rodrigues, S. (2012) [96] 的說法，以英語為第二語言的孩子由於語言障礙而無法理解問題陳述。他們傾向於依賴關鍵詞或誤解問題陳述，因此他們得出的解可能是錯誤的。依賴關鍵詞會分散學生試圖理解問題的注意力。“關鍵詞會導致混淆，難以區分日常語言和數學語言。” [97]

這項研究的結果表明，課堂或小組討論將為學生提供一個澄清問題本質的機會，以便他們能夠理解給定什麼和要求什麼。為學生提供閱讀、理解、分享彼此的想法以及從多種策略角度考慮問題和解決方案的機會將使學生更深入地理解問題。

在採用認知方法教授文字題時，教師應該為學生提供充分的機會思考和討論文字題的含義，然後與同學一起考慮多種解決方案。這種方法對於那些有語言障礙的學生和那些有數學學習障礙的學生都很有價值。

學習障礙委員會 [98] 建議以下一些教授學生解決問題的策略

FAST DRAW (Mercer & Miller, 1992) 找出你要解決的問題。問問自己，“問題的各個部分是什麼？” 設定數字。確定符號。

發現符號。閱讀問題。回答，或繪製並檢查。寫下答案。

問題和行動 (Rivera, 1994) 步驟 a. 閱讀問題。 問題 我是否不認識某些單詞？ 我是否知道每個詞的意思？ 我是否需要重新閱讀問題？ 問題中是否有數字詞？ 行動 在單詞下劃線。 查詢定義。 重新閱讀。 在單詞下劃線。 b. 重述問題。 哪些資訊很重要？ 哪些資訊不必要？ 問題在問什麼？ 在單詞下劃線。 劃掉。 用自己的話重述。 c. 制定計劃。 有哪些事實？ 如何組織這些事實？ 有多少個步驟？ 我將使用哪些運算？ 列出清單。 製作圖表。 使用操作材料。 使用較小的數字。 選擇運算。 d. 計算問題。 我得到正確答案了嗎？ 估計。 與同伴核對。 使用計算器驗證。 e. 檢查結果。 我是否回答了問題？ 我的答案是否合理？ 我是否可以重新陳述問題和答案？ 重新閱讀問題。 檢查問題和答案。 寫一個數字句子。

3. TINS 策略 (Owen, 2003) 這個首字母縮略詞代表了用於分析和解決文字問題的不同步驟。 思考：思考你需要做些什麼來解決這個問題，並圈出關鍵詞。 資訊：圈出並寫下解決這個問題所需的資訊；畫一幅圖；劃掉不必要的資訊。 數字句子：寫一個代表問題的數字句子。 解答句子：寫一個解釋答案的解答句子。 示例：凱爾買了 6 張棒球卡。 第二天，他增加了 11 張卡到他的收藏中。 他總共有多少張卡片？ 思考：+ 資訊：6 張棒球卡，11 張棒球卡 數字句子：6 + 11 = 解答句子：凱爾收藏了 17 張棒球卡。

4. 解決問題 (Birsh, Lyon, Denckla, Adams, Moats, & Steeves, 1997) 首先閱讀問題。 突出顯示問題。 圈出重要資訊。 制定計劃。 使用操作材料來表示數字。 執行計劃。 檢查你的工作。

用於教授代數的認知導師

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1985 年，Anderson、Boyle 和 Reigser 將認知心理學學科加入了智慧輔導系統。 從那時起，採用這種方法構建認知模型以幫助學生獲取知識的智慧輔導系統被命名為認知導師。[99] 最常用的認知導師是 Cognitive Tutor® 代數 I。[100] 商標所有者 Carnegie Learning, Inc. 正在開發完整的 Cognitive Tutor®，包括代數 I、II、代數橋樑、幾何和綜合數學 I、II、III。 Cognitive Tutor® 現在也包含西班牙語模組。

如何教授

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兩個內建演算法，模型追蹤 和 知識追蹤，可以幫助監控學生在使用軟體期間的學習情況。 模型追蹤可以提供即時反饋、按需提示，並根據學生每一步的效能軌跡提供特定於內容的建議。[99] 知識追蹤可以根據使用者的先前知識為每個使用者個性化學習任務。[99][100]

你可以訪問 解決問題、批判性思維和論證 的章節 (2.5.2 認知導師的理論背景) 以獲得更多關於認知導師如何透過即時反饋、按需提示、特定於內容的建議和個性化任務來促進代數學習的詳細資訊。

Cognitive Tutor® 代數 I 的混合效應

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關於認知導師的有效性，先前研究證據支援認知導師比課堂教學更有效。[99][101][102][103] 然而，最近由美國教育部教育科學研究所建立的獨立大型研究，即“有效教學資源庫”，[104] 回顧了 22 項關於 Cognitive Tutor® 代數 I 的研究中的 6 項，這些研究包括 118 個地點的 8-13 年級 12,840 名學生。 研究人員發現，Cognitive Tutor® 代數 I 對代數有混合效應，對中學生的整體數學成績沒有統計學上顯著或實質性重要的影響。

Morgan 和 Ritter，[105] 在俄克拉荷馬州摩爾五所不同學校的九年級代數課上進行了一項教師內部實驗。 在這項研究中，每位老師都被分配到至少一個 Cognitive Tutor® 代數 I 融合課堂和一個傳統課堂。 研究結果表明，使用 Cognitive Tutor® 代數 I 學習的學生比沒有使用該軟體的同齡學生表現更好，並且傾向於對數學抱有積極的態度，例如對數學更有信心。

Cabalo、Jaciw 和 Vu[106] 進行了一項隨機實驗，以檢驗 Cognitive Tutor® 代數 I 在夏威夷毛伊縣的五所中學環境中的有效性。 在實施 Cognitive Tutor® 代數 I 六個月後，學生們需要在 2005-06 學年結束時參加 NWEA 代數課程結束考試。 研究結果表明，學生總體上對 Cognitive Tutor® 軟體的態度積極，大多數學生，無論是否使用該軟體，在數學測試中都取得了進步。 然而，與初始分數高的學生相比，在使用 Cognitive Tutor® 之前分數較低的學生的進步顯著。

Campuzano、Dynarski、Agodini 和 Rall[107] 對基於技術的教學的有效性進行了一項為期兩年的國會授權研究，包括在第二年在四個學區的九所貧困學校使用 Cognitive Tutor® 代數 I。 研究人員採用了隨機對照試驗方法，將教師隨機分配到使用該軟體或繼續使用現有學校課程的組別。 所有學生都在秋季和春季參加了 ETS 課程結束考試，與第一年相比，第二年使用該軟體的學生的成績顯著更高。 然而，干預組和對照組之間考試成績的差異很小 (p<0.3)。

Pane、Griffin、MaCaffrey 和 Karam[108] 採用隨機對照試驗來檢驗美國技術整合代數課程的有效性。 研究持續了兩個連續的學年，Cognitive Tutor® 代數 I 軟體在教師指導的課堂教學 (每週 3 天) 和計算機引導的教學 (每週 2 天) 中實施。 高中研究結果表明，在第一個學年，干預組和對照組學生之間的學習成績差異很小 (p<0.46)。 然而，證據有力地支援了在第二年將 Cognitive Tutor® 代數 I 整合的益處 (p<0.04)，干預組中成績較低的學生比同一組中成績較高的學生進步更大。

術語表

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演算法 是數學中一個具有步驟序列的程式，當用它來解決數學問題時，它將產生正確的答案。

應用 發生在學生能夠在數學概念和日常生活情境之間建立聯絡時。

澄清 發生在學生識別和分析問題的各個方面時，它使他們能夠解釋解決問題所需的知識。

分類 是根據相似特徵對物體進行分組的能力。

概念知識 是促進學生數學推理和理解的心理結構。

陳述性知識 是指從長期記憶中檢索到的數學概念，即事實知識；因此，利用這些概念來解決其他複雜的數學問題。

評估 發生在學生可以使用特定指標來確定問題解答的正確性時。

推斷 發生在學生能夠將一般概念應用於特定情境，並區分物體之間異同的時候。

內在動機是指學生主要出於自身興趣而想要學習。

元認知是指用於控制自身思維和學習的知識。

程式性知識是指關於如何使用一系列策略步驟來解決數學問題的知識。

排序是指根據大小（例如長度、重量或體積）對物體進行從小到大排序的能力。

自我調節學習是指控制自身學習的能力，從計劃到事後評估表現。

短期記憶負責臨時儲存必須使用但不必操縱的資訊。

工作記憶是一個系統，負責臨時儲存新的或以前儲存的資訊，這些資訊被用於完成當前任務。

推薦讀物

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  1. 新手教師的數學問題解決信念和認知案例研究。Baker, C. K. (2015). A case study of novice teachers' mathematics problem solving beliefs and perceptions. Dissertation Abstracts International Section A, 75
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參考文獻

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