交換環理論/可除性和主理想

定義（主理想）:

令 $R$ 為交換環。主理想 是 $R$ 的 左主理想。等價地，它是 $R$ 的右主理想或雙邊主理想。

命題（主理想的可除性特徵）:

令 $R$ 為交換環，令 $a,b\in R$。則 $a|b\Leftrightarrow \langle a\rangle \geq \langle b\rangle$.

證明：這兩個斷言都等價於存在一個 $c\in R$ 使得 $b=ac$。 $\Box$

定義（相似性）:

令 $R$ 為交換環。兩個元素 $a,b\in R$ 被稱為相似當且僅當存在一個單位 $u\in R$ 使得 $a=ub$.

命題（相似性是等價關係）:

給定一個環 $R$，相似關係在 $R$ 的元素上定義了一個等價關係。

證明：對於自反性，使用恆等式，對於對稱性，使用逆元。假設 $a=ub$ 且 $b=vc$，其中 $u,v\in R^{\times }$。那麼 $a=uvc$，當然 $uv\in R^{\times }$。 $\Box$

命題（在一個整環中，主理想的生成元在相似性意義下是唯一的）:

設 $R$ 是一個整環，並且設 $\langle a\rangle \leq R$ 是 $R$ 的一個主理想。那麼如果 $\langle a\rangle =\langle b\rangle$ 對於某個元素 $b\in R$ 成立，則對於某個 $u\in R^{\times }$ 有 $a=ub$。

證明：等式 $\langle a\rangle =\langle b\rangle$ 意味著存在某些 $x,y\in R$，使得 $a=xb$ 且 $b=ya$。因此，$a=xya$。根據消去律（因為 $R$ 是一個整環），$xy=1$，因此 $x$ 是一個單位元，所以 $a$ 和 $b$ 是相似的。$\Box$