交換環理論/主理想整環

定義（主理想整環）:

一個主理想整環是一個整環 $R$，其每個理想都是 主理想。

命題（Bézout 整環是主理想整環當且僅當它滿足 Noetherian 條件或對主理想滿足升鏈條件）:

設 $R$ 為一個 Bézout 整環。那麼以下等價：

1. $R$ 是一個主理想整環
2. $R$ 是 Noetherian 的
3. $R$ 的主理想滿足升鏈條件

（關於依賴選擇公理的條件。）

證明： 蘊涵 “1. $\Rightarrow$ 2.” 是顯而易見的。假設 3. 成立，並令 $I\leq R$ 為任意理想。如果 $I$ 不是主理想，那麼無論何時 $a\in I$，我們都能找到一個 $b\in I$ 使得 $b\notin \langle a\rangle$。因此，從任意 $a_{1}\in I$ 開始，並應用依賴選擇公理（應用於具有適當關係的有限元組集）產生一個序列 $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 在 $I$ 中，使得 $a_{n+1}\notin \langle \gcd(a_{1},\ldots ,a_{n})\rangle$；事實上，$\gcd(a_{1},\ldots ,a_{n})\in I$，因為 $R$ 是 Bézout 整環。如果我們定義

$b_{n}:=\gcd(a_{1},\ldots ,a_{n})$，我們有 $\langle b_{1}\rangle \supsetneq \langle b_{2}\rangle \supsetneq \cdots$；

因此，我們定義了一個 $R$ 的主理想上升鏈，它不穩定。最後，每一個主理想整環都必須是諾特環，因為諾特環等價於所有理想都是有限生成的。 $\Box$