交換環理論/可除性和主理想

定義（主理想）:

令 $R$ 為一個交換環。一個主理想是 $R$ 的一個 左主理想。等價地，它是一個 $R$ 的右主理想或一個雙邊主理想。

命題（由主理想的可除性特徵）:

令 $R$ 為一個交換環，令 $a,b\in R$。則 $a|b\Leftrightarrow \langle a\rangle \geq \langle b\rangle$.

證明：這兩個斷言都等價於存在一個 $c\in R$ 使得 $b=ac$。 $\Box$

定義（相似性）:

令 $R$ 為一個交換環。兩個元素 $a,b\in R$ 被稱為相似當且僅當存在一個單位 $u\in R$ 使得 $a=ub$.

命題（相似性是一個等價關係）:

給定一個環 $R$，相似性關係定義了 $R$ 元素上的一個等價關係。

證明：對於自反性，使用單位元，對於對稱性，使用逆元。假設 $a=ub$ 且 $b=vc$，其中 $u,v\in R^{\times }$。則 $a=uvc$，當然 $uv\in R^{\times }$。 $\Box$

命題（在一個整環中，主理想的生成元在相似性下是唯一的）:

設 $R$ 為一個整環，設 $\langle a\rangle \leq R$ 為 $R$ 的一個主理想。那麼，如果對於某個元素 $b\in R$，有 $\langle a\rangle =\langle b\rangle$，則有 $a=ub$，其中 $u\in R^{\times }$。

證明：等式 $\langle a\rangle =\langle b\rangle$ 意味著 $a=xb$ 且 $b=ya$，其中 $x,y\in R$。因此，$a=xya$。根據消去律（由於 $R$ 是整環，消去律成立），有 $xy=1$，因此 $x$ 是一個單位，因此 $a$ 和 $b$ 相似。$\Box$