複變函式論/複函式/解析函式

從我們對複數導數的考察中，我們現在來考察解析函式、柯西-黎曼方程和調和函式。

2.4.1 全純函式

注意：全純函式有時被稱為解析函式。這種等價性將在後面證明，但在此之前這兩個術語可以互換使用。

定義：復值函式 $f(z)$ 在開集 $G$ 上是全純的，如果它在 $G$ 中的每個點都有導數。

這裡，全純性是在開集上定義的，然而，可微性可能只存在於一個點。如果 f(z) 在整個複平面上是全純的，那麼我們說 f 是整函式。例如，z 的所有多項式函式都是整函式。（證明）

2.4.2 柯西-黎曼方程

全純的定義表明所述函式的實部和虛部之間存在關係。假設 $f(z)=u(x,y)+v(x,y)i$ 在 $z_{0}=x_{0}+y_{0}i$ 可微。那麼極限

$\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}$

可以透過讓 $\Delta z_{0}(=\Delta x_{0}+\Delta y_{0}i)$ 從 $\mathbb {C}$ 中的任何方向趨近於零來確定。

如果它水平趨近，我們有 $f'(z_{0})={\frac {\partial u}{\partial x}}(x_{0},y_{0})+i{\frac {\partial v}{\partial x}}(x_{0},y_{0})$ 。類似地，如果它垂直趨近，我們有 $f'(z_{0})={\frac {\partial v}{\partial y}}(x_{0},y_{0})-i{\frac {\partial u}{\partial y}}(x_{0},y_{0})$ 。透過將這兩個等式的實部和虛部相等，我們得到

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},{\frac {\partial v}{\partial x}}=-{\frac {\partial u}{\partial y}}$

這些方程被稱為柯西-黎曼方程，並由此引出一個重要的定理。

定理: 設函式 $f(z)=u(x,y)+v(x,y)i$ 定義在包含點 $z_{0}$ 的開集 $G$ 上。如果 $u,v$ 的一階偏導數在 $G$ 上存在，並且在 $z_{0}$ 處連續，並且滿足柯西-黎曼方程，則 f 在 $z_{0}$ 處可微。此外，如果上述條件滿足，則 $f$ 在 $G$ 上是解析函式。(證明).

2.4.3 調和函式

現在我們來討論調和函式。回想一下拉普拉斯方程，$\nabla ^{2}(\phi ):={\frac {\partial ^{2}(\phi )}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}(\phi )}{\partial y^{2}}}=0$

定義: 實值函式 $\phi (x,y)$ 在區域 $D$ 內是 **調和** 的，如果它所有二階偏導數在 $D$ 內連續，並且在 $D$ 中的每個點，$\phi$ 在區域 $D$ 內是解析的，那麼 $u(x,y),v(x,y)$ 在 $D$ 內也是調和的。(證明)

接下來