具體來說，如果函式是解析函式，函式的實部和虛部必須對所有階都求偏導數，函式是解析函式，函式必須滿足柯西黎曼方程。
如果一個全純函式屬於 C2 級，那麼就是調和函式。
令函式 f = u+iv 是全純函式，並屬於 C2 級。
根據柯西黎曼方程，我們有
d2u/dx2=d/dx(dv/dy)=d/dy(dv/dx)=-d2u/dy2
這證明了 u 是調和函式。類似的推理也證明了 v 有相同的結果，因此 f 是調和函式。
