複分析/複函式/復導數

復可微性

現在讓我們定義復可微性。

定義 2.3.1:

令 $S\subseteq \mathbb {C}$ , 令 $f:S\to \mathbb {C}$ 為一個函式，並令 $z_{0}\in S$ . $f$ 稱為在 $z_{0}$ **復可微** 當且僅當存在一個 $w\in \mathbb {C}$ 使得

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in S}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}=w$

例 2.3.2

函式

$f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} ,f(z)={\bar {z}}$

在任何地方都不可微。

證明

令 $z_{0}\in \mathbb {C}$ 為任意值。假設 $f$ 在 $z_{0}$ 復可微，即

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in \mathbb {C} }{\frac {{\bar {z}}-{\bar {z}}_{0}}{z-z_{0}}}$

存在。

我們選擇

${\begin{aligned}A:=\{z\in \mathbb {C} |\Re z=\Re z_{0}\}\\B:=\{z\in \mathbb {C} |\Im z=\Im z_{0}\}\end{aligned}}$

根據引理 2.2.3，由於$\mathbb {C}$ 是開放的，所以有

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in A}{\frac {{\bar {z}}-{\bar {z}}_{0}}{z-z_{0}}}=\lim _{z\to z_{0} \atop z\in \mathbb {C} }{\frac {{\bar {z}}-{\bar {z}}_{0}}{z-z_{0}}}=\lim _{z\to z_{0} \atop z\in B}{\frac {{\bar {z}}-{\bar {z}}_{0}}{z-z_{0}}}$

但是

${\begin{aligned}&\lim _{z\to z_{0} \atop z\in A}{\frac {{\bar {z}}-{\bar {z}}_{0}}{z-z_{0}}}=\lim _{z\to z_{0} \atop z\in A}{\frac {\Re (z-z_{0})-i\Im (z-z_{0})}{\Re (z-z_{0})+i\Im (z-z_{0})}}=-1\\\\&\lim _{z\to z_{0} \atop z\in B}{\frac {{\bar {z}}-{\bar {z}}_{0}}{z-z_{0}}}=\lim _{z\to z_{0} \atop z\in B}{\frac {\Re (z-z_{0})-i\Im (z-z_{0})}{\Re (z-z_{0})+i\Im (z-z_{0})}}=1\end{aligned}}$

矛盾。$\Box$

柯西-黎曼方程

我們可以定義一個從 $\mathbb {C}$ 到 $\mathbb {R} ^{2}$ 的自然雙射函式，如下所示

$\Phi (x+yi):=(x,y)$

事實上，$\Phi$ 是 $\mathbb {C} ^{1}$ 和 $\mathbb {R} ^{2}$ 之間的向量空間同構。

$\Phi$ 的逆由下式給出

$\Phi ^{-1}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {C} ,\Phi ^{-1}(x,y)=x+yi$

定理和定義 2.3.3:

設 $O\subseteq \mathbb {C}$ 為開集，設 $f:O\to \mathbb {C}$ 為一個函式，並設 $z_{0}=x_{0}+y_{0}i\in O$ 。如果 $f$ 在 $z_{0}$ 處復可微，則函式

${\begin{aligned}&u:\Phi (O)\to \mathbb {R} ,u(x,y)=\Re f(x+yi)\\&v:\Phi (O)\to \mathbb {R} ,v(x,y)=\Im f(x+yi)\end{aligned}}$

是定義明確的，在$(x_{0},y_{0})$處可微，並滿足以下方程

${\begin{aligned}&\partial _{x}u(x_{0},y_{0})=\partial _{y}v(x_{0},y_{0})\\&\partial _{y}u(x_{0},y_{0})=-\partial _{x}v(x_{0},y_{0})\end{aligned}}$

這些方程稱為柯西-黎曼方程。

證明

1. 我們證明$u,v$ 的定義明確性。

令$(x,y)\in \Phi (O)$。我們在兩邊應用逆函式得到

$x+yi\in \Phi ^{-1}(\Phi (O))=O$

其中最後一個等式成立是因為$\Phi$是雙射的（對於任何雙射$f:S_{1}\to S_{2}$，我們有$f^{-1}{\bigl (}f(S_{3}){\bigr )}=f{\bigl (}f^{-1}(S_{3}){\bigr )}=S_{3}$如果$S_{3}\subseteq S_{1}$；參見練習 1）。

3. 我們證明$u$和$v$的可微性以及柯西-黎曼方程。

我們定義

${\begin{aligned}S_{1}:=\{z\in \mathbb {C} :\Re (z)=\Re (z_{0})\}\cap O\\S_{2}:=\{z\in \mathbb {C} :\Im (z)=\Im (z_{0})\}\cap O\end{aligned}}$

然後我們有

${\begin{aligned}\partial _{x}u(x_{0},y_{0})&=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {u(x,y_{0})-u(x_{0},y_{0})}{x-x_{0}}}&\\&=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {\Re {\bigl (}f(x+y_{0}i){\bigr )}-\Re {\bigl (}f(x_{0}+y_{0}i){\bigr )}}{x-x_{0}}}&\\&=\Re \left(\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x+y_{0}i)-f(x_{0}+y_{0}i)}{x-x_{0}}}\right)&{\text{continuity of }}\Re \\&=\Re \left(\lim _{z\to z_{0} \atop z\in S_{2}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}\right)&\\&=\Re \left(\lim _{z\to z_{0} \atop z\in S_{1}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}\right)&{\text{lemma 2.2.3}}\\&=\Re \left(\lim _{y\to y_{0}}{\frac {f(x_{0}+yi)-f(x_{0}+y_{0}i)}{yi-y_{0}i}}\right)&\\&=\Re \left((-i)\lim _{y\to y_{0}}{\frac {f(x_{0}+yi)-f(x_{0}+y_{0}i)}{y-y_{0}}}\right)&i^{-1}=-i\\&=\Im \left(\lim _{y\to y_{0}}{\frac {f(x_{0}+yi)-f(x_{0}+y_{0}i)}{y-y_{0}}}\right)&\\&=\partial _{y}v(x_{0},y_{0})\end{aligned}}$

從這些方程中可以得出$\partial _{x}u(x_{0},y_{0}),\partial _{y}v(x_{0},y_{0})$ 的存在，例如

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in S_{2}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}$

根據引理 2.2.3 存在。

對於

$\partial _{y}u(x_{0},y_{0})=-\partial _{x}v(x_{0},y_{0})$

以及$\partial _{y}u(x_{0},y_{0}),\partial _{x}v(x_{0},y_{0})$ 的存在性，我們留作練習 2。 $\Box$

全純函式

定義 2.3.4:

令$S\subseteq \mathbb {C}$ 且令 $f:S\to \mathbb {C}$ 為一個函式。我們稱$f$ 為 **全純** 當且僅當對於所有$z_{0}\in S$ , $f$ 在$z_{0}$ 可微。在這種情況下，函式

$f':S\to \mathbb {C} ,f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0} \atop z\in S}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}$

稱為$f$的復導數。我們用$H(S)$表示定義在$S$上的全純函式集。

練習

1. 令$S_{1},S_{2},S_{3}$是集合，使得$S_{3}\subseteq S_{1}$，並令$f:S_{1}\to S_{2}$是一個雙射函式。證明$f^{-1}{\bigl (}f(S_{3}){\bigr )}=f{\bigl (}f^{-1}(S_{3}){\bigr )}=S_{3}$。
2. 令$O\subseteq \mathbb {C}$為開集，令$f:O\to \mathbb {C}$為一個函式，並令$z_{0}=x_{0}+y_{0}i\in O$。證明如果$f$在$z_{0}$處復可微，那麼$\partial _{y}u(x_{0},y_{0})$和$\partial _{x}v(x_{0},y_{0})$存在，並滿足方程$\partial _{y}u(x_{0},y_{0})=-\partial _{x}v(x_{0},y_{0})$。

接下來