複變函式論/複變函式/連續函式

在本節中，我們

• 介紹比實分析中已知的“更廣義的極限”（即關於$\mathbb {C}$子集的極限），並
• 利用該“極限類”來刻畫從複數子集對映到複數的函式的連續性。

關於原像子集的複變函式極限

我們現在將定義並處理以下形式的語句

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in B'}f(z)=w$

對於$B\subseteq \mathbb {C} ,f:B\to \mathbb {C} ,B'\subseteq B,w\in \mathbb {C}$，並證明關於這些語句的兩個引理。

定義 2.2.1:

令$B\subseteq \mathbb {C}$ 是一個集合，令$f:B\to \mathbb {C}$ 是一個函式，令$B'\subseteq B$，令$z_{0}\in B'$ 並且令$w\in \mathbb {C}$。如果

$\forall \varepsilon >0:\exists \delta >0:{\bigl (}z\in B'\cap B(z_{0},\delta )\Rightarrow |f(z)-w|<\varepsilon {\bigr )}$

我們定義

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in B'}f(z):=w$

引理 2.2.2:

令$B\subseteq \mathbb {C}$ 是一個集合，令$f:B\to \mathbb {C}$ 是一個函式，令$B''\subseteq B'\subseteq B$，令$z_{0}\in B''$ 並且$w\in \mathbb {C}$。如果

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in B'}f(z)=w$

那麼

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in B''}f(z)=w$

證明：令 $\varepsilon >0$ 為任意數。由於

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in B'}f(z)=w$

存在一個 $\delta >0$ 使得

$z\in B'\cap B(z_{0},\delta )\Rightarrow |f(z)-w|<\varepsilon$

但由於 $B''\subseteq B'$，我們也有 $B''\cap B(z_{0},\delta )\subseteq B'\cap B(z_{0},\delta )$，因此

$z\in B''\cap B(z_{0},\delta )\Rightarrow z\in B'\cap B(z_{0},\delta )\Rightarrow |f(z)-w|<\varepsilon$

因此

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in B''}f(z)=w$$\Box$

引理 2.2.3:

令 $B\subseteq \mathbb {C}$，$f:B\to \mathbb {C}$ 為一個函式，$O\subseteq B$ 為開集，$z_{0}\in O$ 且 $w\in \mathbb {C}$。如果

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in O}f(z)=w$

那麼對於所有 $B'\subseteq B$ 使得 $z_{0}\in B'$ 

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in B'}f(z)=w$

證明

令 $B'\subseteq B$ 使得 $z_{0}\in B'$。

首先，由於 $O$ 是開集，我們可以選擇 $\delta _{1}>0$ 使得 $B(z_{0},\delta _{1})\subseteq O$。

現在令 $\varepsilon >0$ 為任意數。由於

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in O}f(z)=w$

存在一個 $\delta _{2}>0$ 使得

$z\in B(z_{0},\delta _{2})\cap U\Rightarrow |f(z)-f(z_{0})|<\varepsilon$

我們定義 $\delta :=\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}$ 並得到

$z\in B(z_{0},\delta )\cap B'\Rightarrow z\in B(z_{0},\delta )\Rightarrow z\in B(z_{0},\delta _{2})\cap U\Rightarrow |f(z)-f(z_{0})|<\varepsilon$$\Box$

複函式的連續性

我們回顧一下函式

$f:M\to M'$

其中 $M,M'$ 是度量空間，是連續的當且僅當

$x_{l}\to x,l\to \infty \Rightarrow f(x_{l})\to f(x)$

對於所有收斂序列 $(x_{l})_{l\in \mathbb {N} }$ 在 $M$ 中。

定理 2.2.4:

設 $B\subseteq \mathbb {C}$ 且 $f:B\to \mathbb {C}$ 為一個函式。那麼 $f$ 連續當且僅當

$\forall z_{0}\in B:\lim _{z\to z_{0} \atop z\in B}f(z)=f(z_{0})$

證明

習題

1. 證明如果我們定義

   $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} ,f(z)={\begin{cases}{\dfrac {z^{2}}{|z|^{2}}}&:z\neq 0\\1&:z=0\end{cases}}$

   那麼 $f$ 在 $0$ 處不連續。提示：考慮穿過 $0$ 的不同直線的極限，並使用定理 2.2.4。

接下來