複變函式/複數/拓撲

正如我們已經看到的那樣，複數被識別為歐幾里得平面。因此，我們對平面的許多瞭解都適用於複數並不奇怪。在本節中，我們將特別關注複平面的*拓撲*性質。什麼是“拓撲性質”？在數學中，拓撲一詞用來描述空間的某些幾何性質。在這裡，我們將主要關注開放、封閉和連通的概念。極限的概念也屬於這一部分，因為它實際上是關於複平面幾何的一個表述，即說兩個量是“接近的”或一個量“趨近於”另一個量。

我們從複數序列的極限概念開始。

我們說複數序列 $z_{n}$ 的極限為 $z$ ，如果給定 $\epsilon >0$ ，存在一個自然數 $N$ ，使得如果 $n>N$ ，則 $|z-z_{n}|<\epsilon .$

極限這個概念的一個困難之處在於，它要求我們事先知道極限，才能確定一個序列是否收斂。為了處理我們不知道極限的情況，下面給出了一個等價的重新表述，稱為收斂的柯西判據。

一個複數序列 $z_{n}$ 收斂於某個極限，當且僅當給定 $\epsilon >0$ ，存在一個自然數 $N$ ，使得如果 $m,n>N$ ，則 $|z_{m}-z_{n}|<\epsilon .$

這個等價性的一個方向很容易證明，但另一個方向依賴於複數的完備性。這是一個我們將在後面討論的主題。

當然，這與 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的點序列的極限定義完全相同。當然，序列極限的一個重要應用是定義數列的收斂性。

給定一個級數 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }z_{n}$ ，我們定義階數為 $N$ 的部分和為 $S_{N}=\sum _{n=1}^{N}z_{n}$ 。如果 $z=\lim _{n\to \infty }S_{n}$ ，則我們說這個無窮級數收斂於 $z$ 。

請注意，當柯西準則應用於無窮級數時，它將採用以下形式：給定 $\epsilon >0$ ，存在一個 $N$ 使得，如果 $n,m>N$ ，則 ${\bigg |}\sum _{m+1}^{n}z_{n}{\bigg |}<\epsilon$ 。

為了提供一個具體的例子，考慮級數 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$ 。對於固定的 $z$ ，很容易看出這個級數收斂，我們將它收斂到的值表示為 $e^{z}$ 。

為了證明這一點，我們只需從我們對實數的瞭解開始“自舉”。回想一下，對於實數 $|z|$ ，我們知道 $e^{|z|}$ 的和收斂。將柯西準則應用於 $e^{|z|}$ ，我們知道存在一個 $N$ 使得，如果 $n,m>N$ ，則 $\sum _{m+1}^{n}{\frac {|z|^{n}}{n!}}<\epsilon$ 。現在考慮級數 $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}/n!$ 。對於上面確定的 $N$ ，讓我們檢查 ${\big |}S_{n}-S_{m}{\big |}$ ，其中 $n\geq m>N$ 。

{\big |}S_{n}-S_{m}{\big |}={\bigg |}\sum _{m+1}^{n}{\frac {z^{n}}{n!}}{\bigg |}\leq \sum _{m+1}^{n}{\frac {|z|^{n}}{n!}}<\epsilon

.

因此，根據柯西判據，級數 $\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}/n!$ 收斂。

更進一步，我們證明了該級數絕對收斂。回想一下，對於實數級數，級數的任何重新排序都收斂於相同的值。該定理對於複數也成立。對我們來說，研究級數 $e^{i\theta }$ 非常有用，其中 θ 是一個實數。

在這種情況下，我們有

e^{i\theta }=1+(i\theta )+{\frac {(i\theta )^{2}}{2}}+{\frac {(i\theta )^{3}}{6}}+{\frac {(i\theta )^{4}}{4!}}+{\frac {(i\theta )^{5}}{5!}}+{\frac {(i\theta )^{6}}{6!}}+{\frac {(i\theta )^{7}}{7!}}+\cdots

現在，利用 $i^{2n}=(-1)^{n}$ 和 $i^{2n+1}=(-1)^{n}i$ ，我們可以將上面的級數改寫為

e^{i\theta }=1+i\theta -{\frac {\theta ^{2}}{2}}-i{\frac {\theta ^{3}}{6}}+{\frac {\theta ^{4}}{4!}}+i{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{6}}{6!}}-i{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+\cdots

最後，如果我們重新排列級數以確定實部和虛部，我們得到

e^{i\theta }={\bigg (}1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}+{\frac {\theta ^{4}}{4!}}-{\frac {\theta ^{6}}{6!}}+\cdots {\bigg )}+i{\bigg (}\theta -{\frac {\theta ^{3}}{6}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+\cdots {\bigg )}

但現在，我們透過觀察注意到，第一個括號中的級數正是 $\cos \theta$ 的泰勒級數，第二個括號中的級數正是 $\sin \theta$ 的泰勒級數。因此，我們得出結論

尤拉公式: $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \!.$

因此，我們不再需要 cis θ 這個名稱，而是直接使用 $e^{i\theta }$ .

高階主題

本節包含一些更高階的主題，在第一次閱讀本文時，可能需要跳過這些主題。

度量性質

定義度量 $d:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {R}$ 為

$d(z_{1},z_{2})=|z_{1}-z_{2}|$

不難看出， $d$ 滿足正定性、對稱性和三角不等式，這意味著 $\mathbb {C}$ 是一個度量空間。

完備性

回想一下，如果每個柯西序列都收斂到一個極限，那麼度量空間被稱為完備。

對於任何點 $z_{0}\in \mathbb {C}$ ，我們稱開球 $B_{\delta }(z_{0})$ ，它包含所有滿足 $|z-z_{0}|<\delta$ 的所有點 $z$ ，是 $z_{0}$ 的鄰域。類似地，對於正的 δ，由滿足 $|z|>\delta$ 的點 z 組成的集合被稱為無窮大的鄰域。給定一個集合 ${\mathfrak {G}}\subset \mathbb {C}$ ，如果 ${\mathfrak {G}}$ 中的每個點都有一個完全包含在 ${\mathfrak {G}}$ 中的鄰域，我們稱該集合為開集。類似地，如果一個集合的補集是開集，我們稱該集合為閉集。一個點 $z$ 被稱為 ${\mathfrak {G}}$ 的聚點，如果 z 的每個鄰域都包含 ${\mathfrak {G}}$ 中的一個點，該點不同於 z 本身。可以證明，一個集合是閉集當且僅當它包含所有它的聚點：見證明.