複分析/複函式的極限與連續性

在本節中，我們將

• 介紹一個比實分析中已知的“更廣闊的極限類”（即相對於$\mathbb {C}$的子集的極限），並且
• 使用這個“極限類”來描述從複數子集到複數的對映函式的連續性。

複函式

定義 2.1:

令$S_{1},S_{2}$ 為集合，$f:S_{1}\to S_{2}$ 為一個函式。當且僅當$S_{1},S_{2}\subseteq \mathbb {C}$時，$f$ 是一個複函式。

例子 2.2:

函式

$f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} ,f(z):=z^{2}$

是一個複函式。

複函式在原像子集上的極限

現在我們將定義並處理以下形式的語句：

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in A}f(z)=w$

對於$S\subseteq \mathbb {C}$，$f:S\to \mathbb {C}$，$A\subseteq S$ 和$w\in \mathbb {C}$，並證明關於這些語句的兩個引理。

定義 2.3:

設 $S\subseteq \mathbb {C}$ 為一個集合，設 $f:S\to \mathbb {C}$ 為一個函式，設 $A\subseteq S$，設 $z_{0}\in A$，設 $w\in \mathbb {C}$。如果

$\forall \epsilon >0:\exists \delta >0:\left(z\in A\cap B(z_{0},\delta )\Rightarrow |f(z)-w|<\epsilon \right)$,

我們定義

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in A}f(z):=w$.

引理 2.4:

設 $S\subseteq \mathbb {C}$ 為一個集合，設 $f:S\to \mathbb {C}$ 為一個函式，設 $B\subseteq A\subseteq S$，設 $z_{0}\in B$ 和 $w\in \mathbb {C}$。如果

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in A}f(z)=w$,

那麼

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in B}f(z)=w$.

證明: 設 $\epsilon >0$ 為任意實數。由於

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in A}f(z)=w$,

存在一個 $\delta >0$ 使得

$z\in A\cap B(z_{0},\delta )\Rightarrow |f(z)-w|<\epsilon$.

但由於 $B\subseteq A$，我們也有 $B\cap B(z_{0},\delta )\subseteq A\cap B(z_{0},\delta )$，因此

$z\in B\cap B(z_{0},\delta )\Rightarrow z\in A\cap B(z_{0},\delta )\Rightarrow |f(z)-w|<\epsilon$,

因此

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in B}f(z)=w$.$\Box$

引理 2.5:

令 $S\subseteq \mathbb {C}$，$f:S\to \mathbb {C}$ 為一個函式，$O\subseteq S$ 為開集，$z_{0}\in O$ 且 $w\in \mathbb {C}$。如果

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in O}f(z)=w$,

那麼對於所有滿足 $z_{0}\in A$ 的 $A\subseteq S$

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in A}f(z)=w$.

證明:

令 $A\subseteq S$ 滿足 $z_{0}\in A$。

首先，由於 $O$ 是開集，我們可以選擇 $\delta _{1}>0$ 使得 $B(z_{0},\delta _{1})\subseteq O$。

現在令 $\epsilon >0$ 為任意數。由於

$\lim _{z\to z_{0} \atop z\in O}f(z)=w$,

存在一個$\delta _{2}>0$ 使得

$z\in B(z_{0},\delta _{2})\cap U\Rightarrow |f(z)-f(z_{0})|<\epsilon$.

我們定義$\delta :=\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}$ 並得到

$z\in B(z_{0},\delta )\cap A\Rightarrow z\in B(z_{0},\delta )\Rightarrow z\in B(z_{0},\delta _{2})\cap U\Rightarrow |f(z)-f(z_{0})|<\epsilon$.$\Box$

複函式的連續性

定義 2.6:

設$S\subseteq \mathbb {C}$ 且$f:S\to \mathbb {C}$ 是一個函式。則$f$ 被定義為連續當且僅當

$\forall z_{0}\in S:\lim _{z\to z_{0} \atop z\in S}f(z)=f(z_{0})$.

練習

1. 證明如果我們定義

   $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} ,f(z)={\begin{cases}{\frac {z^{2}}{|z|^{2}}}&z\neq 0\\1&z=0\end{cases}}$,

   則$f$ 在$0$ 處不連續。提示：考慮經過$0$ 的不同直線的極限，並使用定理 2.2.4。

接下來