複變函式/留數理論/更“複雜”的解法

有一個更通用、更優雅、涵蓋所有極點的公式來確定留數。我們從檢查函式的洛朗級數開始

$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}$

在檢查這個展開式時，我們注意到，如果我們想要一個函式的簡單極點的留數，我們想要係數 $a_{-1}$。對於二階極點，係數是 $a_{-2}$，依此類推。為了真正瞭解公式中的內容，最好看看展開式

$f(z)=...+{\frac {a_{-2}}{(z-z_{0})^{2}}}+{\frac {a_{-1}}{(z-z_{0})}}+a_{0}+a_{1}(z-z_{0})+a_{2}(z-z_{0})^{2}+...$

假設我們想要從一個關於該點具有二階極點的函式中獲得 $z_{0}$ 的留數，我們首先乘以 $(z-z_{0})^{2}$

$f(z)={\frac {a_{-2}}{(z-z_{0})^{2}}}+{\frac {a_{-1}}{(z-z_{0})}}+a_{0}+a_{1}(z-z_{0})+a_{2}(z-z_{0})^{2}+...$

$(z-z_{0})^{2}f(z)=a_{-2}+a_{-1}(z-z_{0})+...\,$

現在我們想要分離 $a_{-1}$ 項，所以我們求導數

$g(z)={\frac {d}{dz}}((z-z_{0})^{2}f(z))=a_{-1}+...$

現在，如果我們評估 $g$ 在 $z_{0}$，剩下的項將為零，因此

$g(z_{0})={\frac {d}{dz}}((z-z_{0})^{2}f(z))=a_{-1}$

為我們提供了留數，透過重複相同的過程，可以很容易地得到通式。

留數公式

$\mathrm {Res} (f,z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}{\frac {1}{(m-1)!}}{\frac {d^{m-1}}{dz^{m-1}}}{\Big (}(z-z_{0})^{m}\cdot f(z){\Big )}$

其中 $z_{0}$ 是要尋找留數的點，$f$ 是函式。

這個公式中有一些額外的項，上面沒有討論。階乘消除了來自導數的額外乘積項，而極限則處理了由可去奇點引起的運算問題。