複分析/留數理論/部分分式

這可能是最基本的技術，不需要太多理論，主要只需要代數運算。但是，它確實有侷限性，也就是說它實際上只適用於多項式。這更像是一種食譜方法：這裡有食譜，按照步驟操作即可。

給定兩個多項式函式 $P(z)$ 和 $Q(z)$，其中 Q 的次數大於 P 的次數，我們定義另一個函式為這兩個多項式的商

$f(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}$

我們注意到，如果我們對 Q 進行因式分解，我們得到

$Q(z)=(z-z_{0})^{a_{0}}\cdot (z-z_{1})^{a_{1}}\cdot ...$

那麼，根據 $(z-z_{0})^{a_{0}}$ 的形式，我們可以將函式簡化為一系列簡單的或 m 階極點，如下所示

$f(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}={\frac {A_{0}(x)(+B_{0})}{(z-z_{0})^{a_{0}}}}+{\frac {A_{0}(x)(+B_{0})}{(z-z_{0})^{a_{0}-1}}}+...+{\frac {A_{1}(x)(+B_{1})}{(z-z_{1})^{a_{1}}}}+{\frac {A_{1}(x)(+B_{1})}{(z-z_{1})^{a_{1}-1}}}+...$

然後，係數 $A_{0},...,B_{0},...$ 可以求解，並且可以將函式表示為具有可讀留數的顯式形式。

當然，這透過示例和案例來解釋會好得多。

情況 1，簡單的一階因子

我們從函式開始

$f(z)={\frac {1}{z^{2}+3z+2}}$

並注意到它可以這樣因式分解

$f(z)={\frac {1}{z^{2}+3z+2}}={\frac {1}{(z+1)(z+2)}}$

對於這種情況，我們“猜”到的正確形式如下

${\frac {1}{(z+1)(z+2)}}={\frac {A_{0}}{z+1}}+{\frac {A_{1}}{z+2}}$

剩下的部分透過代數來完成，我們在兩邊都乘以 $(z+1)(z+2)$

$1=A_{0}z+2A_{0}+A_{1}z+A_{1}$

這給了我們兩個方程

$0=A_{0}z+A_{1}z$

$1=2A_{0}+A_{1}$

因此

$A_{0}=1$ 以及 $A_{1}=-1$

我們的函式可以改寫為

$f(z)={\frac {1}{z+1}}-{\frac {1}{z+2}}$

本節的其餘部分討論了有助於分離的幾個分數形式，因為實際方法和理論仍然適用。

其他兩種情況

情況 1，不可分解項。在我們的通用表示式中，有一個 A(x)+B 項，但實際上應該包含一個額外的多項式來表示可能的“不可分解”項（即，那些不能僅使用實數分解的項，儘管如果使用虛數正確分解這些項，該方法仍然有效）。為了解決這個問題，“猜”到的分數中要包含這些額外的項。例如，

$f(z)={\frac {1}{(z^{2}+4)(z-1)}}={\frac {A_{0}x+B_{0}}{z^{2}+4}}+{\frac {A_{1}}{z-1}}$

需要求解 $A_{0}$，$B_{0}$ 和 $A_{1}$。

情況 2，項被乘方。正確的“猜”將包含因子遞減冪的一系列尾隨項。例如，

$f(z)={\frac {1}{(z+1)^{2}(z-1)}}={\frac {A_{0}}{(z+1)^{2}}}+{\frac {A_{1}}{z+1}}+{\frac {A_{2}}{z-1}}$

備註

同樣，部分分式分解只適用於多項式，對於大型分母來說可能非常麻煩。下一節將探討一種更通用的方法來確定留數。