複分析/留數理論/基礎

什麼是留數？

當我們說我們想要一個函式在某個點的留數時，意味著我們想要該函式在該點展開後的簡單極點（分母為零）項的係數。例如，函式

$f(x)={\frac {3}{x+1}}$

在$-1$處的留數為3。

類似地，對於

$f(x)={\frac {3}{x+1}}+{\frac {3}{x+2}}$

它的留數也是3，因為第二項在 -1 處沒有極點。

當然，我們會遇到的函式將比這複雜得多，有些可能在分母中包含二次項，有些可能像$\sin({\frac {1}{z}})$一樣沒有定義良好；根據函式型別，我們會遇到不同型別的孤立奇點。當然，在繼續之前，這些東西需要被明確定義，以包含可能出現的衝突。此外，我們的求留數方法會隨著奇點型別的不同而變化！這可能是本章最重要的內容。

孤立奇點

有三種類型

1) 可去奇點

2) m階極點

3) 本性奇點

我們將在下面逐一詳細介紹。

可去奇點

嚴格定義是，當$\lim _{z\rightarrow z_{0}}f(z)=k$時，該函式稱為可去奇點，其中$k$ 是某個常數值（你可能需要使用洛必達法則才能得到這個結論）。

通俗地說，這是一個函式，它在分子和分母上有相同的項可以被約去。

例如，下面的函式

$f(x)={\frac {3(x+1)}{x+1}}$

在$z_{0}=-1$處有一個可去奇點。

至於這與留數有什麼關係，根據嚴格定義，這意味著該函式在該點的留數被認為是 0。如果約去之後還留下了相同的項，例如在下面的函式中

$f(x)={\frac {3(x+1)}{(x+1)^{2}}}$

m階極點

同樣，嚴格定義是，如果函式 f 在$z_{0}$處有極點，則$\lim _{z\rightarrow z_{0}}||f(z)||=\infty$，我們透過勞倫級數中極點的最高階數（通俗地說，約去後剩餘的冪的次數）來分類m階。換句話說

在 $z_{0}$ 處的極點階數是指滿足 $\lim _{z\to z_{0}}(z-z_{0})^{m}f(z)$ 有界的最小的整數 m。

示例

$f(x)={\frac {3}{x+1}}+{\frac {3}{(x+1)^{2}}}$

關於 $-1$ 具有二階極點。這是因為：$(x+1)^{2}f(x)=3(x+1)+3$ 當 $x$ 不等於 $-1$ 時，因此 $\lim _{x\to -1}(x+1)^{2}f(x)=3<\infty$

本性奇點

嚴格的定義是，一個函式，使得 $\lim _{z\rightarrow z_{0}}f(z)$ 既不有界也不為無窮，例如極限為未定義。此類函式的一個典型示例是來自一階微積分課的典型示例

$f(z)=\sin(1/z)$

關於 $0$ 存在本性奇點。

這些函式通常會發生的情況是，當檢查 Laurent（或針對上面函式的 Taylor）級數時，發現階數 *m* 為無窮大（存在無窮多個極點）。沿用我們的示例，如果我們執行 Taylor 級數展開，我們得到

$f(z)=\sin(1/z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}n!}{z^{n}}}$

這顯示了我們有無窮多個極點。

這是唯一一種孤立奇點型別，其中確定留數（1/z 項的冪）的唯一已知方法是手動建立 Laurent 級數並讀出係數。

此外，超出了本書的範圍，還有一個關於具有本性奇點的函式的有趣定理，稱為 Picard 定理，該定理指出，具有本性奇點的函式在奇點周圍的鄰域中逼近除可能一個之外的所有值。