圓錐曲線/圓錐曲線導論

導論

存在一類被稱為圓錐曲線的曲線，它們在幾個驚人的方面在概念上是相關的。這類曲線中的每個成員都具有一定的形狀，並且可以被適當地分類：圓、橢圓、拋物線或雙曲線。術語“圓錐曲線”可以應用於這些曲線中的任何一個，並且研究一條曲線對於研究另一條曲線來說並不是必要的。然而，它們之間的關聯是數學中更有趣的巧合之一。

但關於圓錐曲線就說這麼多吧。也許您更想檢視數學新手和專家之間關於圓周率（ $\pi$ ）的這段簡短對話。

新手：那麼，什麼是圓周率？
專家：圓周率是一個數學常數。它的值始終相同，大約為 3.1415926。它是無理數和超越數。
新手：很好。那麼它有什麼用呢？
專家：嗯，我能想到的第一件事是計算旋轉曲面的體積。那是微積分。當然還有弧度制。
新手：這不是我的意思。它為什麼存在？它有實際的定義嗎？
專家：當然！它是圓的周長與其直徑的比率。圓周率是一個數學常數，你知道的。它的值始終相同。我以為每個人都知道這一點。
新手：（諷刺地）謝謝。

這部分完全沒有圓錐曲線的文字內容與圓錐曲線有一定的關聯。您可能已經注意到圓周率可以由一系列數字定義，但這並不能幫助人們使用它，因為有很多數字可以用 3、1、4 和/或其他數字來定義。為什麼圓周率比例如 2.7182818 更實用，為什麼選擇希臘字母來表示它？另一方面，任何圓錐曲線基本上都可以用一個一般方程來定義。另一方面，大多數曲線可以用一個一般方程來定義。這些方程並沒有解決圓錐曲線是什麼的問題，就像一串數字實際上並沒有定義圓周率一樣。

圓錐曲線的方程

儘管如此，這裡只是一些被認為是圓錐曲線方程的示例。

$y^{2}+8y=2x+4\,$
$y^{2}=3-x^{2}\,$
$x^{2}+4y^{2}-6x+16y=171\,$
${\frac {x^{2}}{9}}-{\frac {y^{2}}{49}}=1\,$

瀏覽此列表揭示了一些細微的相似之處。例如，您可能會看到這些方程中只有幾種型別的項。圓錐曲線是二次曲線，這意味著只使用了兩個變數， $x$ 和 $y$ ，並且這些變數僅以自身或平方形式出現，並且可能乘以一個常數。圓錐曲線的一個特徵是它們可以被簡化，以使它們只包含這些項！（另一個項， $x$ 乘以 $y$ ，可以在旋轉圓錐曲線時使用，但這目前並不相關。）

以下是一些其他圓錐曲線的方程。
$(x-3)^{2}+(y+2)^{2}-16=0\,$
$(y-4)^{2}=2(x+4)\,$

y=x^{2}+4\,

3x^{2}+3y^{2}-2xy=8\,

上面最後一個方程使用了xy項，可以透過旋轉消除該項。你會注意到，一些方程中包含平方二項式（例如 $(x-3)^{2}$ )。然而，這些方程總是可以簡化，使得 $x^{2}$ ， $y^{2}$ ， $x$ ， $y$ 和一個常數是方程中唯一的項。這便是圓錐曲線的**一般形式**，看起來像 $Ax^{2}+Cy^{2}+Dx+Ey+F\,$ ，其中A、C、D、E和F是常數。

使用平方二項式是找到圓錐曲線圖形資訊的一種方法。二項式是任何兩個項的和或差的代數表示式。 $y-4$ ， $5x^{2}-C$ 和 $ax+6$ 都是二項式。“二項式”的意思是“有兩部分”，因此二項式中有兩個不同的項。

圓錐曲線並沒有那麼不同。圓、橢圓、拋物線和雙曲線都有一些特性：焦點的存在，圓錐體與平面的交集軌跡，以及偏心率的多個定義之間的聯絡，包括焦點間距離與頂點間距離的比率、平面的傾斜度以及曲線任意一點到焦點與準線的距離的常數比率。此外，所有圓錐曲線都是二次或更低次方程。你基本上不可能只具備其中一個特徵而沒有其他所有特徵。

我們現在將透過圓錐曲線的定義來結束，圓錐曲線這個術語也由此而來。

圓錐曲線定義

簡單來說，圓錐曲線是在圓錐體與平面相交時產生的形狀。圓錐曲線主要有四種類型：拋物線、雙曲線、圓和橢圓。圓有時被歸類為橢圓的一種。（見下圖）