圓錐曲線/橢圓

橢圓的幾何定義是，一個點在平面內移動，使其到兩個定點（稱為焦點）的距離之和為常數（大於這兩個焦點之間的距離）。它也可以定義為偏心率小於 1 的圓錐曲線。橢圓有兩個準線，分別位於兩側。

橢圓的作圖

當長軸水平時，橢圓的一般方程為 : ${\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1$.
當長軸垂直時，它是：${\frac {(y-k)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(x-h)^{2}}{b^{2}}}=1$

• 中心位於 $(h,k)$.
• 焦點位於中心沿長軸的 $c$ 距離處，其中 $c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$.
• 橢圓的偏心率可透過公式求得：$b^{2}=a^{2}(1-e^{2})$，其中 e 是偏心率。較高的偏心率使曲線看起來更“扁平”，而偏心率為 0 時，橢圓為圓形。
• 準線是直線 $x=\pm {\frac {a}{e}}$
• 長軸的長度為 $2a$，短軸為 $2b$.
• 從每個點到每個焦點的距離之和為 $2a$.

應用

• 假設一個完美的反射橢圓，從橢圓的焦點發出的任何光線都會被反射到另一個焦點。這一特性被利用在“耳語迴廊”中，在那裡兩個人站在一個任意大的橢圓形房間的焦點處，可以清楚地聽到彼此的耳語。
• 反射特性在醫學上也很有用，它被用於治療膽結石。一臺機器在一個橢圓形碗的焦點處發出聲波，而患者膽結石所在的部位被放置在另一個焦點處。聲波被反射並集中在結石上，使結石破碎並變小到可以從體內排出。
• 每個行星的軌道都是一個橢圓，太陽位於兩個焦點中的一個 (開普勒第一定律)。太空中物體的軌道大多呈橢圓形。

參考文獻

• http://www.purplemath.com/modules/ellipse.htm