圓錐曲線/拋物線

拋物線是另一個常見的圓錐曲線。拋物線的幾何定義是所有點軌跡的集合，這些點到一個點（稱為焦點）和一條直線（稱為準線）的距離相等。換句話說，拋物線的離心率等於1。將拋物線繞其軸旋轉形成的立體稱為拋物面。

拋物線的圖形

垂直拋物線的標準方程為$(x-h)^{2}=4a(y-k)$。

• 拋物線的對稱軸是垂直於準線並經過焦點的直線，其方程為$x=h$。它也被稱為對稱線。
• 頂點是拋物線的“底部”，位於$(h,k)$。因此，正$k$ 將使拋物線沿其軸向上移動$k$ 個單位，而負數則會將其向下移動。無論$a$ 是正數還是負數，情況都是如此。
• $a$ 是拋物線的焦距。焦點位於$(h,k+a)$。如果$a$ 為正，則拋物線向上開口，而負$a$ 則使其向下開口。
• 準線位於$y=k-a$。

如果圓錐曲線是水平的，則它與垂直拋物線相同，只是沿著x軸而不是y軸。標準方程為：$(y-k)^{2}=4a(x-h)$。

• 拋物線的對稱軸為直線$y=k$。
• 頂點位於$(h,k)$。正$k$ 將使拋物線沿其軸向右移動$k$ 個單位，而負數則會將其向左移動。無論$a$ 是正數還是負數，情況都是如此。
• 焦點位於 $(h+a,k)$。如果 $a$ 為正，則拋物線開口向右；而 $a$ 為負則開口向左。
• 準線位於 $x=h-a$。

引數方程

豎直拋物線引數方程為
$x=h+2at$
$y=k+at^{2}$
對於水平拋物線
$x=h+at^{2}$
$y=k+2at$
對於這兩種形式

• 頂點位於 (h,k)
• 焦點距離頂點 $a$ 個單位，且位於長軸上。
• 拋物線上任意一點的梯度為 t，這可以透過使用鏈式法則對引數方程進行微分來證明。

有關如何繪製引數方程圖形的資訊，請參閱 圓錐曲線引數方程。

極座標形式

拋物線的極座標形式由 $r=-{\frac {2a}{1+cos\theta }}$給出。

應用

拋物線在日常生活中有很多用途。

• 伽利略在 16 世紀證明，以一定角度向空中發射的物體遵循拋物線的軌跡，這一發現使得彈丸的瞄準更加精確。
• 在光學中，拋物線特別有用，因為入射到拋物面鏡上的平行光束都會被導向焦點，反之，放置在焦點處的光源將從鏡面上反射成一系列平行光線。這使得拋物面鏡在望遠鏡、前照燈、衛星天線等方面都很有用。
• 拋物線的另一個用途是訓練宇航員。一架沿著拋物線軌跡飛行的飛機會導致乘客經歷自由落體，從而產生失重狀態。

參考文獻

• http://www.tutorvista.com/math/parametric-equation-parabola
• http://www.nointrigue.com/docs/notes/maths/maths_parametrics.pdf