圓錐曲線/軸旋轉

簡介

圓錐曲線是二階多項式。展開後，你得到一個形如：$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$ 的方程。如果 $B$ 的值為零，那麼圓錐曲線沒有旋轉，並且位於 x 軸和 y 軸上。如果 $B$ 不為零，那麼圓錐曲線圍繞軸旋轉，旋轉中心位於原點。

繪圖

繪製旋轉的圓錐曲線

如果你被要求繪製一個形如 $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$ 的旋轉圓錐曲線，首先需要將其轉換為相同未旋轉圓錐曲線的方程。然後將其繪製到圖上新繪製的軸上。未旋轉圓錐曲線的方程可以找到：$AX^{2}+BXY+CY^{2}+DX+EY+F=0$。注意大寫字母用於代數符號。這表明它們代表與原始方程不同的值。

為了確定 X 和 Y 的值，你使用公式

• $\tan 2\theta ={\frac {B}{A-C}}$
• $x=X\cos \theta -Y\sin \theta$
• $y=X\sin \theta +Y\cos \theta$

透過將 $x$ 和 $y$ 的新值代入原始方程，可以得到一個新的方程，它表示一個未旋轉的圓錐曲線，可以繪製在相對於原始 x 軸和 y 軸以 $\theta$（逆時針）旋轉的軸系上。然而，當你這樣做時，仍然需要確定頂點、焦點和準線等點的新的旋轉位置。這可以使用以下公式完成

• $X=x\cos \theta +y\sin \theta$
• $Y=-x\sin \theta +y\cos \theta$

其中 (X,Y) 是原始點 (x,y) 的新的旋轉座標。

公式：$B^{2}-4AC$ 可用於在開始繪圖之前，從原始方程確定圓錐曲線的型別

• $B^{2}-4AC=0$: 拋物線
• $B^{2}-4AC<0$: 橢圓
• $B^{2}-4AC>0$: 雙曲線

旋轉圓錐曲線

如果您想將圓錐曲線旋轉某個角度，$\theta$，這相對簡單。您只需要從上一節中進行以下替換

• $x=X\cos \theta -Y\sin \theta$
• $y=X\sin \theta +Y\cos \theta$

將函式中的$x$和$y$值替換為這些新值。然後簡化答案，它將是相同圓錐曲線圍繞原點逆時針旋轉$\theta$ 的函式。

參考文獻

• http://www.mecca.org/~halfacre/MATH/rotation.htm
• http://www.sparknotes.com/math/precalc/conicsections/section5.rhtml