連續介質力學/座標

座標系

1. 座標系是從流形到歐幾里得空間區域的對映。在對映中，我們理解雙射光滑函式，即微分同胚。
2. 雅可比行列式始終不等於零。
3. 座標曲線
4. 流形上曲線座標的示例：二維平面上的極座標，三維空間上的球座標，二維球面上的立體投影；環形？橢圓形？雙曲形？；笛卡爾座標。
5. 令 $x,y,z$ 始終是笛卡爾座標系中點的座標，而 $x^{1},x^{2},x^{3}$ - 是任意曲線座標系中點的座標（可以是除 $x$ 之外的任何字母）。

拉格朗日描述

運動定律

1. 點的運動定律
2. 連續體的運動
3. 連續體點的個性化
4. 連續體的運動定律
5. 拉格朗日變數

描述運動定律的函式性質

1. 連續性
2. 示例：水霧（不連續性）
3. 雙射性；雅可比行列式
4. 同胚的共同性質

再次討論座標系

1. 觀察者參考系
2. 伽利略相對性原理
3. 與連續體相關的參考系
4. 拉格朗日描述的本質

固定空間座標

固定空間座標基於某個固定參考系，比如你所在的建築物。我們使用 x、y、z 來表示固定空間座標。

材料座標

使用材料座標，在時間 0 (t=0) 選擇一個特定的參考狀態。材料中的每個點都分配一個標籤，該標籤是它在 t=0 時的位置。我們使用 X、Y、Z 來表示材料座標。

例如，假設 g(X,Y,Z,t) 告訴你材料座標系中物體的溫度。g(2,3,1,5) 將是在 t=5 時標記為 (2,3,1) 的粒子的溫度，這意味著在 t=0 時，該粒子在固定空間座標系中的位置為 (2,3,1)。

材料導數示例：沿一維流體的熱量定義為 f(x,t)。f 是固定空間座標的函式，如小寫字母 x 所示。

讓我們考慮一下 g(X,t) 如果它也是對同一流體溫度的描述，但在材料座標系中，如大寫字母 X 所示。

g(X, t) = f(x, t)

為了使該方程有意義，我們需要描述 x 和 X 之間的關係。考慮 x 是 X 和 t 的函式，它是標籤為 X 的粒子的位置在特定時間 t。

x(X,t)

請注意，x 取決於時間 t。

溫度的材料導數是對標籤為 X 的特定粒子溫度變化的描述（粒子隨著時間的推移而移動）。我們要對 g(X,t) 關於 t 求偏導數。

考慮到 x 取決於 t，並使用鏈式法則，df/dt = df/dx dx/dt + df/dt dt/dt = df/dx dx/dt + df/dt