微分流形/德拉姆上同調

命題（微分流形的微分形式和卡坦導數構成一個上鍊復形）:

設 $M$ 是一個類 ${\mathcal {C}}^{k}$ 的微分流形。那麼該圖

$0\longrightarrow \Omega ^{0}(M){\overset {d}{\longrightarrow }}\Omega ^{1}(M){\overset {d}{\longrightarrow }}\Omega ^{2}(M){\overset {d}{\longrightarrow }}\cdots$

構成在 ${\mathcal {C}}^{k}(M)$ 上的一個鏈復形，其中 $d$ 表示卡坦導數。

證明：這直接從 對卡坦導數進行兩次運算始終得到零這一事實得出。 $\Box$

定義（德拉姆上同調）:

設 $M$ 是一個類 ${\mathcal {C}}^{k}$ 的微分流形。從鏈復形

$0\longrightarrow \Omega ^{0}(M){\overset {d}{\longrightarrow }}\Omega ^{1}(M){\overset {d}{\longrightarrow }}\Omega ^{2}(M){\overset {d}{\longrightarrow }}\cdots$

產生的上同調被稱為德拉姆上同調。該上同調的第 $k$ 個 ${\mathcal {C}}^{k}(M)$ 模通常記為 $H_{\text{dR}}^{k}(M)$。