可微流形/形式積分

定理（斯托克斯定理）:

設 $M$ 是一個定向的 $n$ 維光滑流形，帶有邊界，並設 $\omega \in \Omega _{c}^{n-1}(M)$。那麼

$\int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega$,

其中 $\partial M$ 具有從 $M$ 繼承的定向。

證明: 我們首先證明 $M=\mathbb {R} ^{n}$ 或 $M=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}\geq 0\}$ 的特殊情況。在第一種情況下，我們關注的形式為 $\omega =fdx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n-1}$，因此 $d\omega ={\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(-1)^{n-1}dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n}$。現在 $\mathbb {R} ^{n}$ 沒有邊界，因此

$\int _{\partial \mathbb {R} ^{n}}\omega =\int _{\emptyset }\omega =0$

根據形式積分的定義。事實上，對於 $\emptyset$，我們有空集圖集，它是定向的。此外，使用富比尼定理，我們有

${\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{n}}d\omega &=(-1)^{n-1}\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n}\\&=0,\end{aligned}}$

因為 $f$ 以及 ${\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}$ 具有緊支撐，證明了對於 $M=\mathbb {R} ^{n}$ 的陳述。我們繼續研究半空間，即我們設定 $M=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}\geq 0\}$。一個通用的 ($n-1$)-形式可以寫成

$\omega =\sum _{k=1}^{n}f_{k}dx_{1}\wedge \cdots \wedge {\widehat {dx_{k}}}\wedge \cdots \wedge dx_{n}$,

因此我們有

$d\omega =\left(\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{k}}}\right)dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n}$.

因此，

${\begin{aligned}\int _{M}d\omega &=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{\infty }\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{k}}}dx_{1}\cdots dx_{n}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f_{n}(0,x_{2},\ldots ,x_{n})dx_{2}\cdots dx_{n}+\overbrace {\sum _{k=2}^{n}(-1)^{k-1}\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{k}}}dx_{k}dx_{2}\cdots {\widehat {dx_{k}}}\cdots dx_{n}dx_{1}} ^{=0}\end{aligned}}$

和

$\int _{\partial M}\omega =\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f_{n}(0,x_{2},\ldots ,x_{n})dx_{2}\cdots dx_{n}$

兩個積分重合。處理完這兩個特殊情況後，我們就可以繼續處理一般情況。因此，假設我們有一個定向流形 $M$，其定向圖集為 $(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })_{\alpha \in A}$，使得每個 $V_{\alpha }:=\varphi _{\alpha }(U_{\alpha })$ 等於 $\{(x_{1},\ldots ,x_{n}|x_{1}\geq 0\}$ 或 $\mathbb {R} ^{n}$，並令 $\omega \in \Omega _{c}^{n-1}(M)$，其中 $n=\dim M$。然後根據定向流形上最高次微分形式積分的定義，只要 $(\rho _{\alpha })_{\alpha \in A}$ 是 $(U_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 的一個 подчиненное разбиение единицы，我們有

${\begin{aligned}\int _{M}d\omega =\sum _{\alpha \in A}\int _{U_{\alpha }}\rho _{\alpha }d\omega =\sum _{\alpha \in A}\int _{V_{\alpha }}\rho _{\alpha }\varphi _{\alpha }^{*}(d\omega )=\sum _{\alpha \in A}\rho _{\alpha }\int _{V_{\alpha }}d\varphi _{\alpha }^{*}(\omega )=\sum _{\alpha \in A}\rho _{\alpha }\int _{\partial V_{\alpha }}\varphi _{\alpha }^{*}(\omega )=\int _{\partial M}\omega .\end{aligned}}$ $\Box$