可微流形/積流形與李群

積流形

定義 10.1:

設 $X,Y,Z,W$ 為集合，$f:X\to Z$ 和 $g:Y\to W$ 為函式。則 $f$ 和 $g$ 的 **笛卡爾積**，記為 $f\times g$，定義為函式

$f\times g:X\times Y\to Z\times W,(f\times g)(x,y)=(f(x),g(y))$

定義 10.2:

設 $M$ 為一個流形，其圖譜為 $\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$。則 $M$ 的 **積流形** 定義為 積空間 $M\times M$，其圖譜為

$\{(O_{\upsilon }\times O_{\mathrm {o} },(\phi _{\upsilon },\phi _{\mathrm {o} }))|\upsilon ,\mathrm {o} \in \Upsilon \}$

引理 10.3:

設 $O\subseteq \mathbb {R} ^{2d}$ 是開集。那麼對於每個 $(x,y)\in O$，存在 $\epsilon _{(x,y)}>0$ 使得

$B_{\epsilon _{(x,y)}}(x)\times B_{\epsilon _{(x,y)}}(y)\subset O$

證明:

設 $(x,y)\in O$ 是任意的。我們選擇 $\delta >0$ 使得 $B_{\delta }((x,y))\subseteq O$。然後我們定義 $\epsilon _{(x,y)}:={\frac {\delta }{2}}$。然後，由三角不等式，對於任意 $(z,w)\in B_{\epsilon _{(x,y)}}(x)\times B_{\epsilon _{(x,y)}}(y)$

$\|(z,w)-(x,y)\|=\|(z,0)+(0,w)-(x,0)-(0,y)\|\leq \|(z,0)-(x,0)\|+\|(0,w)-(0,y)\|=\|z-x\|+\|w-y\|<2\epsilon _{(x,y)}=\delta$

因此，$(z,w)\in B_{\delta }((x,y))\subseteq O$，並且由於 $(z,w)\in B_{\epsilon _{(x,y)}}(x)\times B_{\epsilon _{(x,y)}}(y)$ 是任意的

$B_{\epsilon _{(x,y)}}(x)\times B_{\epsilon _{(x,y)}}(y)\subseteq O$$\Box$

引理 10.4:

令 $O,U\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 為開集。則 $O\times U$ 在 $\mathbb {R} ^{2d}$ 中是開集。

證明:

由於 $O$ 和 $U$ 是開集，對於 $O\times U$ 中的每個點 $(x,y)$，我們都能找到 $\epsilon _{1},\epsilon _{2}\in \mathbb {R} _{>0}$ 使得 $B_{\epsilon _{1}}(x)\subseteq O$ 且 $B_{\epsilon _{2}}(x)\subseteq U$。如果我們定義 $\epsilon :=\min\{\epsilon _{1},\epsilon _{2}\}$，那麼對於所有的 $(z,w)\in B_{\epsilon }((x,y))$

$\|x-z\|^{2}=\|(x,y)-(z,w)\|^{2}-\|y-w\|^{2}\leq \|(x,y)-(z,w)\|^{2}$

以及

$\|y-w\|^{2}=\|(x,y)-(z,w)\|^{2}-\|x-z\|^{2}\leq \|(x,y)-(z,w)\|^{2}$

並且由於函式 ${\sqrt {\cdot }}$ 在 $[0,\infty )$ 上單調遞增，因此

$\|x-z\|<\epsilon$

以及

$\|y-w\|<\epsilon$

因此

$(z,w)\in O\times U$$\Box$

引理 10.5: 令 $X,Y,Z,W$ 為集合，令 $f:X\to Z$ 和 $g:Y\to W$ 為函式。如果 $A\subseteq Z$ 且 $B\subseteq W$，則

$(f\times g)^{-1}(A\times B)=f^{-1}(A)\times g^{-1}(B)$

證明: 見習題 2。

定理 10.6： 類 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的流形 $M$ 的乘積流形確實是流形；即 $\{(O_{\upsilon }\times O_{\mathrm {o} },\phi _{\upsilon }\times \phi _{\mathrm {o} })|\upsilon ,\mathrm {o} \in \Upsilon \}$ 確實是一個類 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的圖集，其中 $n\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$ 且圖集為 $\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$。

證明:

1. 我們證明對於所有 $\upsilon ,\mathrm {o} \in \Upsilon$，集合 $(\phi _{\upsilon }\times \phi _{\mathrm {o} })(O_{\upsilon }\times O_{\mathrm {o} })$ 是開集。

我們有

${\begin{aligned}(\phi _{\upsilon }\times \phi _{\mathrm {o} })(O_{\upsilon }\times O_{\mathrm {o} })&=\{(\phi _{\upsilon }(p),\phi _{\mathrm {o} }(q))\in \mathbb {R} ^{2d}{\big |}p\in O_{\upsilon },q\in O_{\mathrm {o} }\}\\&=\phi _{\upsilon }(O_{\upsilon })\times \phi _{\mathrm {o} }(O_{\mathrm {o} })\\\end{aligned}}$

由於引理 10.4，該集合在 $\mathbb {R} ^{2d}$ 中是開集，因為它是由兩個開集的笛卡爾積。

2. 我們證明對於所有 $\upsilon ,\mathrm {o} \in \Upsilon$，函式 $\phi _{\upsilon }\times \phi _{\mathrm {o} }$ 是一個同胚。

2.1. 對於雙射性，參見習題 1。

2.2. 我們證明連續性。

令 $O\subseteq (\phi _{\upsilon }\times \phi _{\mathrm {o} })(O_{\upsilon }\times O_{\mathrm {o} })$ 是開集。根據子空間拓撲的定義，

引理 10.4 意味著我們有

$O=\bigcup _{(x,y)\in O}B_{\epsilon _{(x,y)}}(x)\times B_{\epsilon _{(x,y)}}(y)$

(這個等式可以透過證明 '$\subseteq$' 和 '$\supseteq$' 來證明)，因此根據引理 10.5 可知，

${\begin{aligned}(\phi _{\upsilon }\times \phi _{\mathrm {o} })^{-1}(O)&=(\phi _{\upsilon }\times \phi _{\mathrm {o} })^{-1}\left(\bigcup _{(x,y)\in O}B_{\epsilon _{(x,y)}}(x)\times B_{\epsilon _{(x,y)}}(y)\right)\\&=\bigcup _{(x,y)\in O}(\phi _{\upsilon }\times \phi _{\mathrm {o} })^{-1}(B_{\epsilon _{(x,y)}}(x)\times B_{\epsilon _{(x,y)}}(y))\\&=\bigcup _{(x,y)\in O}\phi _{\upsilon }^{-1}(B_{\epsilon _{(x,y)}}(x))\times (\phi _{\mathrm {o} })^{-1}(B_{\epsilon _{(x,y)}}(y))\end{aligned}}$

, 它是開集，因為它是開集的並集（因為我們用 乘積拓撲 來裝備 $M\times M$）。

2.3. 我們證明逆對映的連續性。

令 $O\subseteq M\times M$ 是開集。

3. 我們證明

李群

定義 10.7:

令 $G$ 為 $d$ 維的 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類流形，同時也是一個群，即我們有一個群運算 $*:G\times G\to G$ 關於它存在一個單位元，在下文中我們將用 $e$ 表示，並在 $G$ 中存在逆元，並且是結合的。我們稱 $G$ 為$d$ 維的 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類李群 當且僅當

• 函式 $\psi _{*}:G\times G\to G,\psi _{*}((g,h)):=g*h$ 是 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類可微的，其中 $G\times G$ 具有乘積流形圖集，並且
• 函式 $G\to G,g\mapsto g^{-1}$ 也是 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類的。

定義 10.8:

令 $M$ 為一個流形，並且令 $N\subseteq M$ 為 $M$ 的一個子集，它也是一個流形。$N$ 到 $M$ 的包含對映 定義為函式

$\iota :N\to M,\iota (q):=q$

定義 10.9:

令 $G$ 為 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類李群，令 $H\subseteq G$ 是 $G$ 的子集。我們稱 $H$ 為 $G$ 的 **李子群** 當且僅當

• $H$ 是一個李群，但其類不一定與 $G$ 誘導的子空間拓撲一致
• $H$ 到 $G$ 的包含對映是 ${\mathcal {C}}^{n}$ 可微且其微分在每一點都單射。

定義 10.10:

令 $G$ 為一個李群，其群運算為 $*$，令 $g\in G$。關於 $g$ 的 **左乘函式**，記為 $L_{g}$，被定義為函式

$L_{g}:G\to G,L_{g}(h):=g*h$

關於 $g$ 的右乘函式，記為 $R_{g}$，定義為以下函式

$R_{g}:G\to G,R_{g}(h):=h*g$

定理 10.11：設 $G$ 是一個 $d$ 維 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類李群。那麼對於每個 $g\in G$，相應的左乘函式和右乘函式都是從 $G$ 到自身的 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類微分同胚。

證明:

我們只證明了關於左乘的結論，關於右乘的證明方式相同。

在這個證明中，$G$ 的群運算記為 $*$。

1. 我們證明 $L_{g}$ 是 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類可微的。

設 $g\in G$ 為任意元素。由於 $G$ 是一個李群，函式

$\psi _{*}:G\times G\to G,\psi _{*}(g,h)=g*h$

是 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類可微的，其中 $G\times G$ 具有乘積流形結構。

現在令 $(O,\phi )$ 和 $(U,\theta )$ 是 $G$ 圖集中任意兩個元素。我們選擇 $(V,\chi )$ 在 $G$ 圖集中，使得 $g\in V$。由於 $\psi _{*}$ 是 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類可微，所以函式

$\phi |_{*(\psi _{*}^{-1}(O)\cap V\times U)}\circ \psi _{*}|_{\psi _{*}^{-1}(O)\cap V\times U}\circ (\chi \times \theta )|_{\psi _{*}^{-1}(O)\cap V\times U}^{-1}$

包含在 ${\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ^{2d},\mathbb {R} ^{d})$ 中。因此，函式

$f:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d},f(x)=\phi |_{\psi _{*}(\psi _{*}^{-1}(O)\cap V\times U)}\circ \psi _{*}|_{\psi _{*}^{-1}(O)\cap V\times U}\circ (\chi \times \theta )|_{\psi _{*}^{-1}(O)\cap V\times U}^{-1}(\chi ^{-1}(g),x)$

包含在 ${\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ^{2d},\mathbb {R} ^{d})$ 中；偏導數存在並且等於函式最後 $d$ 個變數的偏導數

$\phi |_{\psi _{*}(\psi _{*}^{-1}(O)\cap V\times U)}\circ \psi _{*}|_{\psi _{*}^{-1}(O)\cap V\times U}\circ (\chi \times \theta )|_{\psi _{*}^{-1}(O)\cap V\times U}^{-1}$

但是對於所有的 $x\in \theta (L_{g}^{-1}(O)\cap U)$

$f(x)=(\phi |_{L_{g}(|_{L_{g}^{-1}(O)\cap U})}\circ L_{g}|_{L_{g}^{-1}(O)\cap U}\circ \theta |_{L_{g}^{-1}(O)\cap U}^{-1})(x)$

因此函式

$\phi |_{L_{g}(|_{L_{g}^{-1}(O)\cap U})}\circ L_{g}|_{L_{g}^{-1}(O)\cap U}\circ \theta |_{L_{g}^{-1}(O)\cap U}^{-1}$

包含在 ${\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} ^{d}$ 中，這意味著 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類可微分的定義得到了滿足。

2. 我們證明 $L_{g}$ 是雙射的。

我們可以透過注意到 $L_{g}$ 的逆函式由 $L_{g^{-1}}$ 給出：對於任意的 $h\in G$，我們有

$L_{g^{-1}}(L_{g}(h))=g*(g^{-1}*h)=(g*g^{-1})*h=e*h=h$

以及

$L_{g}(L_{g^{-1}}(h))=g^{-1}*(g*h)=(g^{-1}*g)*h=e*h=h$

3. 我們注意到逆函式是可微的，屬於${\mathcal {C}}^{n}$

我們使用 1. 的結果，將 $g^{-1}$ 代入； $g^{-1}$ 也是 $G$ 的一個元素，而 1. 證明了對於 $G$ 的每個元素，包括 $g^{-1}$，左乘函式都是可微的。 $\Box$

左不變向量場

定義 10.12:

設 $G$ 是一個李群。我們稱向量場 $\mathbf {V} \in {\mathfrak {X}}(M)$ 為 **左不變**，當且僅當

$\forall g,h\in G:(dL_{g})_{h}(\mathbf {V} (h))=\mathbf {V} (gh)$

李群所有左不變向量場的集合用相應的 lowercase fraktur 字母表示；例如，李群 $G$ 的所有左不變向量場用 ${\mathfrak {g}}$ 表示，李群 $H$ 的所有左不變向量場用 ${\mathfrak {h}}$ 表示。

讓我們重複一下李代數的定義

定義 6.2:

設 $L$ 為一個帶有 $[\cdot ,\cdot ]$ 的李代數。在 $L$ 中，如果一個子集在 $[\cdot ,\cdot ]$ 的限制下構成一個李代數，則稱該子集為一個李子代數。

定理 10.13:

設 $G$ 為一個李群。則 ${\mathfrak {g}}$ 以及逐點加法和向量場李括號構成一個李子代數，該李子代數為 ${\mathfrak {X}}(M)$ 的李子代數，其中 ${\mathfrak {X}}(M)$ 也是採用逐點加法和向量場李括號。

證明:

設 $\mathbf {V} ,\mathbf {W} \in {\mathfrak {g}}$。為了證明 ${\mathfrak {g}}$ 在向量場李括號的限制下構成一個李代數，我們只需證明 $[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ]\in {\mathfrak {g}}$。

事實上，對於所有的 $g,h\in G$ 和 $\varphi \in {\mathcal {C}}^{n}(G)$

${\begin{aligned}(dL_{g})_{h}([\mathbf {V} ,\mathbf {W} ](h))(\varphi )&=[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ](h)(L_{g}^{*}\varphi )\\&=\mathbf {V} (h)(\mathbf {W} (L_{g}^{*}\varphi ))-\mathbf {W} (h)(\mathbf {V} (L_{g}^{*}\varphi ))\\&=\mathbf {V} (h)((dL_{g})_{\cdot }(\mathbf {W} \varphi ))-\mathbf {W} (h)((dL_{g})_{\cdot }(\mathbf {V} \varphi ))\\&=\mathbf {V} (h)(\mathbf {W} (g\cdot )(\varphi ))-\mathbf {W} (h)(\mathbf {V} (g\cdot )(\varphi ))\\&=\mathbf {V} (h)(\mathbf {W} \varphi \circ L_{g})-\mathbf {W} (h)(\mathbf {V} \varphi \circ L_{g})\\&=\mathbf {V} (h)(L_{g}^{*}(\mathbf {W} \varphi ))-\mathbf {W} (h)(L_{g}^{*}(\mathbf {V} \varphi \circ L_{g}))\\&=(dL_{g})_{h}(\mathbf {V} (h))(\mathbf {W} \varphi )-(dL_{g})_{h}(\mathbf {W} (h))(\mathbf {V} \varphi )\\&=\mathbf {V} (gh)(\mathbf {W} \varphi )-\mathbf {W} (gh)(\mathbf {V} \varphi )\\&=[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ](gh)(\varphi )\end{aligned}}$

, 其中 $(dL_{g})_{\cdot }(\mathbf {W} \varphi )$ 代表函式

$p\mapsto (dL_{g})_{p}(\mathbf {W} \varphi )$

是指 $\mathbf {W} (g\cdot )(\varphi )$ 這個函式

$p\mapsto \mathbf {W} (gp)(\varphi )$

是指（因為兩者都等於 $\mathbf {W} (L_{g}^{*}\varphi )$，兩者都是 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類的可微函式）。$\Box$

定理 10.14:

設 $G$ 是 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類的李群。那麼，在 ${\mathfrak {g}}$ 和 $T_{e}G$ 之間存在一個向量空間同構。

證明:

我們選擇函式

$\Theta :{\mathfrak {g}}\to T_{e}G,\Theta (\mathbf {V} ):=\mathbf {V} (e)$

我們現在將證明這個函式是期望的同構。

1. 我們證明線性：設 $\mathbf {V} ,\mathbf {W} \in {\mathfrak {g}}$ 且 $c\in \mathbb {R}$。我們有

${\begin{aligned}\Theta (\mathbf {V} +c\mathbf {W} )&=(\mathbf {V} +c\mathbf {W} )(e)\\&=\mathbf {V} (e)+c\mathbf {W} (e)\\&=\Theta (\mathbf {V} )+c\Theta (\mathbf {W} )\end{aligned}}$

2. 我們證明雙射。

2.1. 我們證明單射。

令 $\Theta (\mathbf {V} )=\Theta (\mathbf {W} )$（即 $\mathbf {V} (e)=\mathbf {W} (e)$）對於 $\mathbf {V} ,\mathbf {W} \in {\mathfrak {g}}$。由於 $\mathbf {V} ,\mathbf {W}$ 是左不變的，因此對於所有 $g\in G$ 和 $\varphi \in {\mathcal {C}}^{n}$，有

${\begin{aligned}\mathbf {V} (g)(\varphi )&=\mathbf {V} (ge)(\varphi )\\&=(dL_{g})_{e}(\mathbf {V} )(\varphi )\\&=\mathbf {V} (e)(L_{g}^{*}(\varphi ))\\&=\mathbf {W} (e)(L_{g}^{*}(\varphi ))\\&=(dL_{g})_{e}(\mathbf {W} )(\varphi )\\&=\mathbf {W} (ge)(\varphi )\\&=\mathbf {W} (g)(\varphi )\end{aligned}}$

2.2. 我們證明滿射性。

令 $\mathbf {V} _{e}\in T_{e}G$ 為任意向量。我們定義

$\mathbf {U} _{\mathbf {V} _{e}}(g):=(dL_{g})_{e}\mathbf {V} _{e}$

根據定理2.19，這是一個向量場。它也是左不變的，因為對於所有 $g,h\in G$ 和 $\varphi \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$，我們有

${\begin{aligned}(dL_{g})_{h}(\mathbf {U} _{\mathbf {V} _{e}}(h))(\varphi )&=\mathbf {U} _{\mathbf {V} _{e}}(h)(L_{g}^{*}(\varphi ))\\&=(dL_{h})_{e}\mathbf {V} _{e}(L_{g}^{*}(\varphi ))\\&=\mathbf {V} _{e}(L_{h}^{*}(L_{g}^{*}(\varphi )))\\&=\mathbf {V} _{e}(\varphi \circ L_{g}\circ L_{h})\\&=\mathbf {V} _{e}(\varphi \circ L_{gh})\\&=(dL_{gh})_{e}\mathbf {V} _{e}(\varphi )\\&=\mathbf {U} _{\mathbf {V} _{e}}(gh)(\varphi )\end{aligned}}$

此外，我們對所有 $\varphi \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$ 有

${\begin{aligned}\Theta (\mathbf {U} _{\mathbf {V} _{e}})(\varphi )=\mathbf {U} _{\mathbf {V} _{e}}(e)(\varphi )=(dL_{e})_{e}\mathbf {V} _{e}(\varphi )=\mathbf {V} _{e}(\varphi )\end{aligned}}$

3. 我們注意到 $\Theta$ 的逆是線性的，因為線性雙射函式的逆總是線性的。

$\Box$

下一個定理表明，在李群中，所有左不變向量場都是完備的。

引理 10.15:

令 $G$ 為李群，令 $\mathbf {V} \in {\mathfrak {g}}$，令 $\Phi _{\mathbf {V} }$ 為 $\mathbf {V}$ 的流。那麼對於所有 $g\in G$ 和所有 $(x,h)$ 在 $\Phi {\mathbf {V} }$ 的定義域內，我們有

$\Phi _{\mathbf {V} }(x,g*h)=h*\Phi _{\mathbf {V} }(x,g)$

證明:

令 $h\in G$ 為任意值，令 <mat>I_h</math> 為唯一的最大區間，使得 $0\in I_{h}$ 並且存在唯一的積分曲線 $\gamma _{h}:I_{h}\to M$ 使得

$\gamma _{h}'$

定理 10.16:

令 $G$ 為李群，令 $\mathbf {V} \in {\mathfrak {g}}$。那麼 $\mathbf {V}$ 是完備的。

證明:

令 $g\in G$ 為任意值，令 $\gamma _{g}$ 為 $g$ 處的積分曲線。

指數函式

定義 10.17:

伴隨函式

對於下一個定義，我們回憶一下群的自同構群是由群到自身的群同構集合，其中群運算為合成運算。事實上，這是一個群（參見練習 3）。

我們進一步回顧，對於一個群 $G$，其自同構群表示為 ${\text{Aut}}(G)$.

定義 10.18:

令 $G$ 為一個李群，其群運算表示為 $*$。如果對於所有的 $g\in G$，我們定義函式 $\psi _{g}:G\to G$ 為 $\psi _{g}(h):=g*h*g^{-1}$，則 $G$ 的**伴隨函式**，表示為 ${\text{Ad}}(g)$，由下式給出

${\text{Ad}}:G\to {\text{Aut}}(G),{\text{Ad}}(g)(h):=g*h*g^{-1}$

定理 10.19:

令 $G$ 為一個類 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的流形，其中 $n\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$。對於每個 $g\in G$，${\text{Ad}}(g)$ 屬於類 ${\mathcal {C}}^{n}$。

證明:

我們有

${\text{Ad}}(g)=L_{g}\circ R_{g^{-1}}$

因此，結論從定理 2.29 和 10.11 得出。$\Box$

定理 10.20:

令 $G$ 為李群，且 $\mathbf {V} \in {\mathfrak {X}}(G)$。那麼

${\displaystyle }$

練習

1. 令 $X,Y,Z,W$ 為集合，$f:X\to Z$ 和 $g:Y\to W$ 為兩個雙射函式。證明 $f\times g$ 是雙射的。
2. 證明引理 10.5。
3. 令 $G$ 為一個群，${\text{Aut}}(G)$ 為從 $G$ 到 $G$ 的群同構的集合。證明 ${\text{Aut}}(G)$ 與作為運算的組合構成一個群。