可微流形/偽黎曼流形

非退化對稱雙線性形式和度量張量

定義 12.1:

令 $V$ 為 $\mathbb {R}$ 上的向量空間，並令 $\langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\to \mathbb {R}$ 為雙線性函式。我們稱 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$

對稱當且僅當 $\forall \mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V:\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {w} ,\mathbf {v} \rangle$
非退化 當且僅當 $\forall \mathbf {v} \in V:\left((\forall \mathbf {w} \in V:\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =0)\Rightarrow \mathbf {v} =0\right)$

定理 12.2:

令 $V$ 為 $\mathbb {R}$ 上的向量空間，令 $V^{*}$ 為其對偶空間，並令 $\langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\to \mathbb {R}$ 為非退化雙線性形式。則函式

J:V\to V^{*},J(\mathbf {v} ):=\langle \mathbf {v} ,\cdot \rangle

是雙射的。

證明:

定義 12.3:

令 $M$ 為一個流形。一個 $(0,2)$ 張量場 $\mathbf {T}$ 在 $M$ 上被稱為

對稱當且僅當 $\forall p\in M:\left(\forall \mathbf {v} _{p},\mathbf {w} _{p}\in T_{p}M:\mathbf {T} (\mathbf {v} _{p},\mathbf {w} _{p})=\mathbf {T} (\mathbf {w} _{p},\mathbf {v} _{p})\right)$
非退化 當且僅當 $\forall p\in M:\left(\mathbf {v} _{p}\in T_{p}M:\left((\forall \mathbf {w} _{p}\in T_{p}M:T(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0)\Rightarrow \mathbf {v} _{p}=0\right)\right)$

定義 12.4:

令 $M$ 為一個類 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的流形。我們用術語 $M$ 上的度量張量來指 $M$ 上的類 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的對稱和非退化的 $(0,2)$ 張量場。

在下文中，我們將用 $\langle \cdot ,\cdot \rangle (\cdot )$ 表示度量張量。讓我們進一步解釋一下這個符號： $(0,2)$ 張量場在 $M$ 上是一個函式，它將 $M$ 上的每個點 $p\in M$ 對映到 $(0,2)$ 張量，相對於 $T_{p}M$ 。在每個點 $p\in M$ ，我們的度量張量取 $(0,2)$ 張量的值

\langle \cdot ,\cdot \rangle (p)

，其中兩個 $\cdot$ 表示 $T_{p}M$ 元素的兩個輸入。

定理 12.5:

設 $M$ 為一個流形， $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 為一個度量張量。則對每個 $p\in M$ ，

\langle \cdot ,\cdot \rangle (p)

是一個對稱的非退化的雙線性形式。

證明：見習題 1。

定義 12.6:

一個偽黎曼流形是一個流形 $M$ 以及一個度量張量。

弧長、等距和 Killing 向量場

定義 12.7:

令 $M$ 為一個偽黎曼流形，度量張量為 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ，令 $I\subseteq \mathbb {R}$ 為一個區間，令 $\gamma :I\to M$ 為一條曲線。 $\gamma$ 的長度，用 $l(\gamma )$ 表示，定義如下

l(\gamma ):=\int _{I}{\sqrt {\langle \gamma '_{x},\gamma '_{x}\rangle (\gamma (x))}}dx

定義 12.8:

令 $M$ 和 $N$ 是兩個類 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的偽黎曼流形，其中 $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{M}$ 是 $M$ 的度量張量，而 $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{N}$ 是 $N$ 的度量張量。用 ** $M$ 和 $N$ 之間的等距**，我們指的是一個類 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的微分同胚 $\psi :M\to N$ ，使得對於定義在 *有限* 區間 $I\subset \mathbb {R}$ 上的每條曲線 $\rho :I\to M$ ，我們都有

l(\rho )=l(\psi _{*}\rho )

定義 12.9:

令 $M$ 為一個流形。我們稱 $\mathbf {V} \in {\mathfrak {X}}(M)$ 為 **Killing 向量場**（以 Wilhelm Killing 命名；這與殺死無關）當且僅當對每個 $x\in \mathbb {R}$ ， $\Phi _{x}$ 是 $M$ 和 $M$ 之間的等距，對所有 $x\in \mathbb {R}$ ，使得 $\Phi _{x}$ 的定義域等於整個 $M$ 。