定義（卡當導數）:
證明：對於 k ∈ N ∪ { 0 } {\displaystyle k\in \mathbb {N} \cup \{0\}} ， 很明顯 d {\displaystyle d} 將 Ω k ( M ) {\displaystyle \Omega ^{k}(M)} 對映到 Ω k + 1 ( M ) {\displaystyle \Omega ^{k+1}(M)} 。我們聲稱 d ∘ d = 0 {\displaystyle d\circ d=0} 也是如此。根據線性，我們可以簡化為基元的情況，所以假設 ω = f d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k ∈ Ω k ( M ) {\displaystyle \omega =fdx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}\in \Omega ^{k}(M)} ， 其中 i 1 < ⋯ < i k {\displaystyle i_{1}<\cdots <i_{k}} 並且 f ∈ C ∞ ( M ) {\displaystyle f\in C^{\infty }(M)} 。然後
根據 克萊羅定理 和 ∧ {\displaystyle \wedge } 的反對易性，所有項都抵消了，除了 k = j {\displaystyle k=j} 的項，而那裡 d x k ∧ d x j = 0 {\displaystyle dx_{k}\wedge dx_{j}=0} 。 ◻ {\displaystyle \Box }
