可微流形/可微流形的定義

定義（可微流形）:

令 $k\in \mathbb {N}$。那麼，${\mathcal {C}}^{k}$ 類別的可微流形是一個拓撲空間 $M$，以及一個函式族 $(\varphi _{\alpha })_{\alpha \in A}$，使得每個 $\varphi _{\alpha }$ 是定義在 $M$ 的開子集 $U_{\alpha }\subseteq M$ 上的同胚，其像是

• $\mathbb {R} ^{n}$ 的開子集
• 或者半空間 $\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}\geq 0\}$ 的開子集（關於子空間拓撲）

滿足以下條件

• 對於所有的 $\alpha ,\beta \in A$，函式 $\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}$ 在其定義域上是 $k$ 次連續可微
• 對於所有的 $p\in M$，存在一個 $\alpha \in A$ 使得 $p\in U_{\alpha }$

定義（圖集）:

令 $M$ 為一個由函式族 $(\varphi _{\alpha })_{\alpha \in A}$ 定義的 ${\mathcal {C}}^{k}$ 類可微流形。$M$ 的一個 **圖集** 是一個函式族 $(\psi _{\beta })_{\beta \in B}$，使得每個 $\psi _{\beta }$ 是定義在開子集 $V_{\beta }\subseteq M$ 上的同胚，其像為

• $\mathbb {R} ^{n}$ 的開子集
• 或者半空間 $\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}\geq 0\}$ 的開子集（關於子空間拓撲）

使得函式族 $(\psi _{\beta })_{\beta \in B}$ 與函式族 $(\varphi _{\alpha })_{\alpha \in A}$ 相容，即對於所有 $\beta \in B$ 和 $\alpha \in A$，兩個函式 $\varphi _{\alpha }\circ \psi _{\beta }^{-1}$ 及其逆函式 $\psi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}$ 在其各自定義域上 $k$ 次連續可微，並且對於每個 $p\in M$，都存在一個 $\beta \in B$ 使得 $p\in V_{\beta }$.

定義（圖）:

設 $M$ 是一個可微流形。那麼 $M$ 的 **圖** 是一個函式 $\varphi _{\alpha }$，其中 $\alpha \in A$，而 $(\varphi _{\alpha })_{\alpha \in A}$ 是 $M$ 的任何一個圖集。

定義（邊界）:

設 $M$ 是一個配備了圖集 $(\varphi _{\alpha })_{\alpha \in A}$ 的可微流形。此外，設 $B\subseteq A$ 是所有 $\alpha \in A$ 的集合，使得 $\varphi _{\alpha }$ 對映到半空間 $\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}\geq 0\}$ 的一個開子集（關於 $\mathbb {R} ^{n}$ 的子空間拓撲）。$M$ 的 **邊界**，通常用 $\partial M$ 表示，定義如下

$\partial M:=\bigcup _{\beta \in B}\varphi _{\beta }^{-1}\left(\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\}\right)$

定義（具有邊界的可微流形）:

帶邊可微流形 是一個可微流形 $M$，配備了一個圖集 $(\varphi _{\alpha })_{\alpha \in A}$，使得至少有一個圖 $\varphi _{\alpha }$ 的像是 $\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}\geq 0\}$ （相對於 $\mathbb {R} ^{n}$ 的子空間拓撲）與邊界集 $\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\}$ 相交。

命題（帶邊可微流形的邊界是可微流形）:

設 $M$ 是一個類 ${\mathcal {C}}^{k}$ 的帶邊可微流形，並設 $(\varphi _{\alpha })_{\alpha \in A}$ 是 $M$ 的一個圖集。那麼 $\partial M$ 是一個類 ${\mathcal {C}}^{k}$ 的帶邊可微流形，且族

$(\pi _{2,\ldots ,n}\circ \varphi _{\alpha }\upharpoonright \partial M)_{\alpha \in A}$

構成了 $\partial M$ 的一個圖集，其中 $\pi _{2,\ldots ,n}$ 定義如下

$\pi _{2,\ldots ,n}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n-1},~\pi _{2,\ldots ,n}(x_{1},\ldots ,x_{n}):=(x_{2},\ldots ,x_{n})$

證明：首先，我們證明對於每個 $\alpha \in A$，函式 $\pi _{2,\ldots ,n}\circ \varphi _{\alpha }\upharpoonright \partial M$ 是一個同胚。

為此，謹慎地觀察，只要 $p\in \partial M$ 且 $\alpha \in A$ 使得 $U_{\alpha }$ 包含 $p$（其中 $U_{\beta }\subseteq M$ 表示 $\varphi _{\alpha }$ 的定義域），那麼 $\varphi _{\alpha }(p)\in \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\}$。這是因為根據 $\partial M$ 的定義，存在一個 $\beta \in A$ 和一個 $x\in \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\}$ 使得

$p=\varphi _{\beta }^{-1}(x)$;

然而，函式 $\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}$ 是一個同胚，因此它的逆也是一個同胚，所以假設 $\varphi _{\alpha }(p)=\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}(x)\notin \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\}$，該集合的閉合性允許我們選擇一個 $\varphi _{\alpha }(p)$ 的開鄰域 $V$ ，它與 $\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\}$ 沒有交集，而 布勞威爾域不變性定理 則暗示

$(\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1})^{-1}(V)=\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}(V)$

是一個關於 $x$ 的開放鄰域，相對於 $\mathbb {R} ^{n}$ 的歐幾里得拓撲，而同一集合必須包含在 $\varphi _{\beta }$ 的像中，而 $\varphi _{\beta }$ 又包含在 $\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}\geq 0\}$ 中，所以 $\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}(V)$ 不能與 $\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\}$ 相交，否則它將包含其邊界點之一 因此不是閉合的，這與 $\varphi _{\beta }(p)\in \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\}$ 的假設相矛盾。

這證明了，只要 $\alpha \in A$，函式 $\varphi _{\alpha }$ 將 $\partial M$ 對映到 $\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\}$。因此，當限制在 $\varphi _{\alpha }\upharpoonright \partial M$ 的影像時，函式 $\pi _{2,\ldots ,n}$ 是可逆的，並且事實上是 $\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\}$（賦予子空間拓撲）和 $\mathbb {R} ^{n}$ 之間的同胚。事實上，以這種方式限制，$\pi _{2,\ldots ,n}$ 是 ${\mathcal {C}}^{\infty }$ 類別的微分同胚。

此外，$\varphi _{\alpha }\upharpoonright \partial M$ 是一個同胚，因為 同胚的限制仍然是同胚。因此，

$\pi _{2,\ldots ,n}\circ \varphi _{\alpha }\upharpoonright \partial M=\pi _{2,\ldots ,n}\upharpoonright \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\}\circ \varphi _{\alpha }\upharpoonright \partial M$

是同胚的，因為它是同胚的複合；事實上，$\varphi _{\alpha }\upharpoonright \partial M$ 是 $\partial M$ 的一個子集到 $\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\}$ 的一個子集之間的同胚。

現在令 $\alpha ,\beta \in A$。則

$\pi _{2,\ldots ,n}\circ \varphi _{\alpha }\upharpoonright \partial M\circ (\pi _{2,\ldots ,n}\circ \varphi _{\beta }\upharpoonright \partial M)^{-1}=\pi _{2,\ldots ,n}\circ (\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1})\circ (\pi _{2,\ldots ,n}\upharpoonright \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\})^{-1}$,

可微性條件現在可以從以下事實得出：三個函式 $\pi _{2,\ldots ,n}$，$\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}$ 和 $(\pi _{2,\ldots ,n}\upharpoonright \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\})^{-1}$ [[是 $k$ 次可微的，因為它是 $k$ 次可微函式的複合]]。

最後，根據 $\partial M$ 的定義，族 $(\pi _{2,\ldots ,n}\circ \varphi _{\alpha }\upharpoonright \partial M)_{\alpha \in A}$ 中函式的定義域覆蓋了整個 $\partial M$。$\Box$