多元實變函式微積分/測試函式

我們將考慮兩類測試函式，即 bump 函式和 Schwartz 函式。

定義 (Schwartz 函式):

令 $n\in \mathbb {N}$。 那麼 $\mathbb {R} ^{n}$ 上的 Schwartz 函式 是以下定義的集合 ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$

${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}):=\left\{u\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}){\big |}\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}:\left\|x^{\alpha }\partial ^{\beta }u\right\|_{\infty }<\infty \right\}$.

定義 (bump 函式):

令 $n\in \mathbb {N}$。 $\mathbb {R} ^{n}$ 上的 bump 函式 是一個函式 $u\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$，使得 $\operatorname {supp} u$，即 $u$ 的 支撐，是緊緻的。

命題 (測試函式是可積的):

令 $u\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ 或 $u\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$。 那麼 $u\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$。

{{證明|首先假設 $u\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$。 我們知道在 ${\overline {B}}_{1}(0)$ 上， $|u(x)|$ 透過 Weierstraß 定理 達到最大值。