數字訊號處理/雙線性變換

雙線性變換

雙線性變換是一種數學關係，可以用來將特定濾波器在復拉普拉斯域中的傳遞函式轉換為z域，反之亦然。生成的濾波器將具有與原始濾波器相同的特性，但可以使用不同的技術來實現。拉普拉斯域更適合設計模擬濾波器元件，而Z變換更適合設計數字濾波器元件。

雙線性變換是將模擬傳遞函式數值積分到數字域的結果。我們可以將雙線性變換定義為

$s={\frac {2(1-z^{-1})}{T(1+z^{-1})}}$

雙線性變換可以用來生成一個分段常數幅度響應，它近似於等效模擬濾波器的幅度響應。然而，雙線性變換不能忠實地再現模擬濾波器的相位響應。

例如，下圖顯示了使用 40 rad/sec 的取樣頻率，雙線性變換等效於模擬系統的相位響應。比較圖中的相位響應，意識到限制是 Ws/2=20 rad/s - 很明顯地出現了發散。

$y1/u1={\frac {s^{5}+11.21s^{4}+116.2s^{3}+372.6s^{2}+561.6s+363.5}{s^{7}+26.49s^{6}+340.5s^{5}+2462s^{4}+1.043e+04s^{3}+2.336e+04s^{2}+1.905e+04s+4982}}$

• num = [1 11.21 116.242 372.601 561.589 363.528 ];
• den= [1 26.489 340.47 2461.61 10433.1 23363.9 19049. 4981.82 ];
• C=tf(num,den); % GNU Octave 命令
• D=c2d(C,2*pi/40,'bi');  % A/D 透過 Octave

$y1/u1={\frac {0.002524z^{7}-0.00226z^{6}-0.003061z^{5}+0.004265z^{4}-0.001063z^{3}-0.001333z^{2}+0.001663z-0.0006096}{z^{7}-3.545z^{6}+5.43z^{5}-4.798z^{4}+2.702z^{3}-0.9835z^{2}+0.2186z-0.02319}}$

注意，為了使零點和極點計數匹配，添加了兩個零點。

• 
  相位差異接近 Ws/2

W域

雙線性變換是一種一對一對映，也就是說，在一個域中的唯一點將被變換為另一個域中的唯一點。但是，變換不是線性變換，並且不是拉普拉斯域和 Z域 之間的完全等效性。如果設計一個數字濾波器並將其轉換為模擬濾波器，生成的極點和零點不會位於s平面，而是位於具有相似屬性的 w平面，但具有非線性對應關係。

在雙線性變換中，s域中的正虛軸被變換為z域中的上半單位圓。同樣，s域中的負虛軸被變換為z域中的下半單位圓。但是，這種對映是高度非線性的，導致了稱為“頻率扭曲”的現象。

預失真

頻率扭曲遵循已知模式，並且扭曲頻率和已知頻率之間存在已知關係。我們可以使用稱為預失真的技術來解決非線性問題，並生成更忠實的對映。

$\omega _{p}={\frac {2}{T}}\tan \left({\frac {\omega T}{2}}\right)$

p 下標表示相同頻率的預失真版本。注意，在極限 $T\to 0$，連續解是 $\omega _{p}\to \omega$.

相位

雙線性變換不保留模擬濾波器的相位特性，並且沒有辦法校正相位響應以匹配。

濾波器設計步驟

當使用模擬近似和雙線性變換設計數字濾波器時，我們遵循以下步驟。

1. 預扭曲截止頻率。
2. 設計必要的模擬濾波器。
3. 將雙線性變換應用於傳遞函式。
4. 將所得傳遞函式歸一化為單調且具有單位通帶增益（0dB）。

或者，如果我們有**逆雙線性變換**，我們可以遵循以下步驟。

1. 使用逆雙線性變換對數字域中的濾波器規格進行轉換，以產生模擬域中的等效規格。
2. 構建模擬濾波器傳遞函式以滿足這些規格。
3. 使用雙線性變換將所得模擬濾波器轉換為數字濾波器。

逆雙線性變換

逆雙線性變換可以這樣指定。

$z={\frac {1+{\frac {s}{2*f_{s}}}}{1-{\frac {s}{2*f_{s}}}}}$

其中$f_{s}$是取樣率$(f_{s}={\frac {1}{T}})$

這也寫成

$z^{-1}={\frac {1-{\frac {T*s}{2}}}{1+{\frac {T*s}{2}}}}$

這與雙線性變換非常相似。