數字訊號處理/Z變換

Z變換與DTFT有著密切的關係，在轉換、分析和處理離散微積分方程方面非常有用。Z變換之所以這樣命名，是因為字母“z”（小寫Z）被用作變換變數。

Z變換定義

對於給定的序列x[n]，我們可以這樣定義z變換X(z)

[Z變換]

${\mathcal {Z}}(x[n])=X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}$需要注意的是，z是一個連續復變數，定義如下

$z=Re(z)+jIm(z)$ 其中$j={\sqrt {-1}}$是虛數單位。

可能存在幾個序列$x[n]$，它們將生成相同的z變換$X(z)$，不同的函式透過$z$的收斂區域來區分，z變換中的求和將在該區域內收斂。這些收斂區域是以原點為中心的環帶。在給定的收斂區域中，只有一個$x[n]$將收斂到給定的$X(z)$。

示例1

$x[n]=\left\{{\begin{array}{ll}0&n<0\\a^{n}&n\geq 0\end{array}}\right.$

$X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}z^{-n}={\frac {1}{1-az^{-1}}}$ 對於$\left|z\right|>\left|a\right|$

示例2

$x[n]=\left\{{\begin{array}{ll}-a^{n}&n<0\\0&n\geq 0\end{array}}\right.$

$X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=-\infty }^{-1}-a^{n}z^{-n}=-\sum _{n=1}^{\infty }a^{-n}z^{n}=-\left({\frac {1}{1-za^{-1}}}-1\right)={\frac {1}{1-az^{-1}}}$ 當 $\left|z\right|<\left|a\right|$

請注意，這兩個例子都具有相同的函式 $X(z)$ 作為它們的 Z 變換，但它們各自的 Z 變換中的無限求和收斂所需的收斂區域不同。許多關於 Z 變換的教科書只關注所謂的右半邊函式，也就是說函式 $x[n]$，對於所有小於某個初始起始點 $N_{i}$ 的 $n$，$x[n]=0$；也就是說，對於所有 $n<N-i$，$x[n]=0$。只要函式在起始點之後最多以指數方式增長，這些所謂的右半邊函式的 Z 變換將在一個通往無窮大的開環帶上收斂，$\left|z\right|>R$，其中 $R$ 是某個正實數。

需要注意的是，Z 變換很少需要手動計算，因為許多常見的結果已經在表格中進行了廣泛的整理，並且控制系統軟體也包含了它（MatLab、Octave、SciLab）。

Z 變換實際上是所謂的洛朗級數的特例，而洛朗級數又是常用的泰勒級數的特例。

逆 Z 變換

逆 Z 變換可以這樣定義

[逆 Z 變換]

$x[n]={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz$

其中 C 是一個閉合迴路，位於 z 平面的單位圓內，幷包圍點 z = {0, 0}。

逆 Z 變換在數學上非常複雜，但幸運的是——就像 Z 變換本身一樣——結果在表格中進行了廣泛的整理。

與 DTFT 的等價性

如果我們將 $z=e^{j\omega }$ 代入 Z 變換，其中 $\omega$ 是以弧度/秒為單位的頻率，則得到

$Z(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\omega n}$

這等價於 離散時間傅立葉變換 (Discrete-Time Fourier Transform) 的定義。換句話說，要從 Z 變換轉換為 DTFT，我們需要在單位圓上評估 Z 變換。

性質

由於 z 變換等價於 DTFT，因此 z 變換具有許多相同的性質。具體來說，z 變換具有對偶性，並且它還有一個卷積定理的版本（稍後討論）。

Z 變換是一個線性運算元。

卷積定理

由於 Z 變換等價於 DTFT，因此它也具有一個值得明確說明的卷積定理。

卷積定理

離散時間域中的乘法變為 z 域中的卷積。z 域中的乘法變為離散時間域中的卷積。

Y(s)=X(s).H(s)

Z 平面

由於變數 z 是一個連續的復變數，因此我們可以將 z 變數對映到複平面，如下所示

傳遞函式

假設我們有一個系統，其輸入/輸出關係定義如下

Y(z) = H(z)X(z)

我們可以將系統的傳遞函式定義為 H(z) 項。如果我們有一個基本的傳遞函式，我們可以將其分解成幾個部分

$H(z)={\frac {N(z)}{D(z)}}$

其中 H(z) 是傳遞函式，N(z) 是 H(z) 的分子，D(z) 是 H(z) 的分母。如果我們設 N(z)=0，則該方程的解稱為傳遞函式的 **零點**。如果我們設 D(z)=0，則該方程的解稱為傳遞函式的 **極點**。

傳遞函式的極點放大頻率響應，而零點衰減頻率響應。這很重要，因為當您設計濾波器時，可以在單位圓上放置極點和零點，並快速評估濾波器的頻率響應。

示例

這是一個示例

$Y(z)={\frac {z^{-1}}{(z^{-1}+2)}}X(z)$

因此，透過除以 X(z)，我們可以證明傳遞函式定義如下

$H(z)={\frac {z^{-1}}{(z^{-1}+2)}}$

我們還可以找到 D(z) 和 N(z) 方程，如下所示

$N(z)=z^{-1}$

$D(z)=(z^{-1}+2)$

根據這些方程，我們可以找到極點和零點

零點

z → 0

極點

z → -1/2

穩定性

可以證明，對於任何具有傳遞函式 H(z) 的因果系統，為了使系統穩定，H(z) 的所有極點都必須位於 z 平面的單位圓內。傳遞函式的零點可以位於圓內或圓外。參見 控制系統/Jury 判據。

增益

增益是指輸出幅度與輸入幅度不同的倍數。如果在給定頻率下輸入幅度與輸出幅度相同，則稱該濾波器具有“單位增益”。

性質

以下是 Z 變換最常見的一些性質。

	時域	Z 域	收斂域 (ROC)
符號	$x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}$	$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}$	收斂域 (ROC)：$r_{2}<|z|<r_{1}\$
線性	$a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]\$	$a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)\$	至少為ROC1和ROC2的交集
時間平移	$x[n-k]\$	$z^{-k}X(z)\$	ROC，除了$z=0\$如果$k>0\,$，以及$z=\infty$如果$k<0\$
z域縮放	$a^{n}x[n]\$	$X(a^{-1}z)\$	$|a|r_{2}<|z|<|a|r_{1}\$
時間反轉	$x[-n]\$	$X(z^{-1})\$	${\frac {1}{r_{2}}}<|z|<{\frac {1}{r_{1}}}\$
共軛	$x^{*}[n]\$	$X^{*}(z^{*})\$	收斂域 (ROC)
實部	$\operatorname {Re} \{x[n]\}\$	${\frac {1}{2}}\left[X(z)+X^{*}(z^{*})\right]$	收斂域 (ROC)
虛部	$\operatorname {Im} \{x[n]\}\$	${\frac {1}{2j}}\left[X(z)-X^{*}(z^{*})\right]$	收斂域 (ROC)
微分	$nx[n]\$	$-z{\frac {\mathrm {d} X(z)}{\mathrm {d} z}}$	收斂域 (ROC)
卷積	$x_{1}[n]*x_{2}[n]\$	$X_{1}(z)X_{2}(z)\$	至少為ROC1和ROC2的交集
互相關	$r_{x_{1},x_{2}}(l)=x_{1}[l]*x_{2}[-l]\$	$R_{x_{1},x_{2}}(z)=X_{1}(z)X_{2}(z^{-1})\$	至少為X1(z)和X2($z^{-1}$)的收斂域的交集
乘法	$x_{1}[n]x_{2}[n]\$	${\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}({\frac {z}{v}})v^{-1}\mathrm {d} v\$	至少為$r_{1l}r_{2l}<|z|<r_{1u}r_{2u}\$
帕塞瓦爾定理	$\sum ^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\$	${\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\frac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d} v\$

• 初始值定理

$x[0]=\lim _{z\rightarrow \infty }X(z)\$，如果$x[n]\,$ 是因果的

• 終值定理

$x[\infty ]=\lim _{z\rightarrow 1}(z-1)X(z)\$，僅當$(z-1)X(z)\$ 的極點位於單位圓內

進一步閱讀

• 數字訊號處理/雙線性變換
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