控制系統/Jury 測試

數字系統中的勞斯-赫維茨判據

由於 Z 域和 S 域之間的差異，勞斯-赫維茨判據不能直接用於數字系統。這是因為數字系統和連續時間系統具有不同的穩定性區域。但是，有一些方法可以用於分析數字系統的穩定性。我們的第一個選擇（可以說不是一個很好的選擇）是使用雙線性變換將數字系統轉換為連續時間表示。雙線性變換將 Z 域中的方程轉換為 W 域中的方程，該方程具有類似於 S 域的屬性。另一種可能性是使用Jury 穩定性測試。Jury 測試類似於 RH 測試，但經過修改以直接分析 Z 域中的數字系統。

雙線性變換

一種常見但耗時的分析 z 域中數字系統穩定性的方法是使用雙線性變換將傳遞函式從 z 域轉換為 w 域。w 域類似於 s 域，方式如下：

• 右半平面中的極點是不穩定的
• 左半平面中的極點是穩定的
• 虛軸上的極點是部分穩定的

然而，w 域相對於 s 域是扭曲的，除了極點相對於虛軸的相對位置外，它們的位置與它們在 s 域中的位置不同。

然而，請記住，勞斯-赫維茨判據可以告訴我們一個極點是否不穩定，而不會告訴我們其他資訊。因此，只要極點位於正確的半平面，它的確切位置並不重要。由於我們知道穩定極點位於 w 平面和 s 平面的左側，不穩定極點位於兩個平面的右側，因此我們可以使用 w 域中的函式進行勞斯-赫維茨測試，就像我們在 s 域中一樣。

其他對映

還有一些其他方法可以將 Z 域中的方程對映到 S 域或類似域中的方程。我們將討論這些不同的方法在附錄中。

Jury 測試

Jury 測試與勞斯-赫維茨判據類似，但它可以用於分析 Z 域中 LTI 數字系統的穩定性。為了使用 Jury 測試來確定數字系統是否穩定，我們必須根據一些特定的規則和要求檢查我們的 z 域特徵方程。如果函式未透過任何要求，則它是不穩定的。如果函式通過了所有要求，則它是穩定的。Jury 測試是數字系統穩定性的必要且充分的測試。

同樣，我們稱 D(z) 為系統的特徵多項式。它是 Z 域傳遞函式的分母多項式。Jury 測試將完全關注特徵多項式。要執行 Jury 測試，我們必須對系統執行許多較小的測試。如果系統未透過任何測試，則它是不穩定的。

Jury 測試

給定一個特徵方程，其形式為：

$D(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{N}z^{N}$

以下測試確定該系統是否在單位圓之外存在任何極點（不穩定區域）。這些測試將使用 N 的值作為特徵多項式的次數。

系統必須透過所有這些測試才能被認為是穩定的。如果系統未透過任何測試，則可以立即停止：無需嘗試任何其他測試。

規則 1

如果 z 為 1，則系統輸出必須為正

$D(1)>0$

規則 2

如果 z 為 -1，則以下關係必須成立

$(-1)^{N}D(-1)>0$

規則 3

常數項 (a₀) 的絕對值必須小於最高係數 (a_N) 的值

$|a_{0}|<|a_{N}|$

如果規則 1、規則 2和規則 3得到滿足，則構造Jury 陣列（如下所述）。

規則 4

一旦 Jury 陣列形成，所有以下關係必須得到滿足，直到陣列結束

$|b_{0}|>|b_{N-1}|$

$|c_{0}|>|c_{N-2}|$

$|d_{0}|>|d_{N-3}|$

以此類推，直到陣列的最後一行。如果所有這些條件都滿足，則系統穩定。

在構建 Jury 陣列時，你可以進行 **規則 4** 的測試。如果陣列在任何點上不滿足 **規則 4**，你可以停止計算陣列：你的系統不穩定。我們將在下面討論 Jury 陣列的構建。

Jury 陣列

Jury 陣列的構建方法是，首先寫出一行係數，然後寫出另一行，係數順序相反。例如，如果你的多項式是三階系統，我們可以寫出 Jury 陣列的前兩行，如下所示：

${\overline {\underline {\begin{matrix}z^{0}&z^{1}&z^{2}&z^{3}&\ldots &z^{N}\\a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}&\ldots &a_{N}\\a_{N}&\ldots &a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\end{matrix}}}}}$

現在，一旦我們寫出第一行係數，我們再新增一行係數（我們將使用 **b** 表示這一行，**c** 表示下一行，按照我們之前的約定），我們將根據上面幾行的值來計算下面幾行的值。我們新增的每一行都比前一行少一個係數。

${\overline {\underline {\begin{matrix}1)&a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}&\ldots &a_{N}\\2)&a_{N}&\ldots &a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\3)&b_{0}&b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{N-1}\\4)&b_{N-1}&\ldots &b_{2}&b_{1}&b_{0}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\2N-3)&v_{0}&v_{1}&v_{2}\end{matrix}}}}$

注意：最後一行是 (2N-3) 行，始終有 3 個元素。如果 N=1，則此測試沒有意義，但在這種情況下，你已經知道極點！

一旦我們得到一個只有 2 個成員的行，我們就可以停止構建陣列。

要計算奇數行的值，我們可以使用以下公式。偶數行等於上一行反轉順序。我們將使用 k 作為任意下標值。這些公式可以重複用於陣列中的所有元素

$b_{k}={\begin{vmatrix}a_{0}&a_{N-k}\\a_{N}&a_{k}\end{vmatrix}}$

$c_{k}={\begin{vmatrix}b_{0}&b_{N-1-k}\\b_{N-1}&b_{k}\end{vmatrix}}$

$d_{k}={\begin{vmatrix}c_{0}&c_{N-2-k}\\c_{N-2}&c_{k}\end{vmatrix}}$

如果需要，可以將此模式繼續應用到陣列的所有下面幾行。

示例：計算 e₅

給出陪審團陣列成員 e₅ 的方程（假設原始多項式足夠大，需要 e₅ 成員）。

從我們上面設定的模式來看，我們可以得到成員 e 的方程

$e_{k}={\begin{vmatrix}d_{0}&d_{N-R-k}\\d_{N-R}&d_{k}\end{vmatrix}}$

其中我們使用 R 作為上面方程的減法元素。由於行 c 有 R → 1，行 d 有 R → 2，我們可以遵循模式，對於行 e 設定 R → 3。將這個 R 值代入我們上面的方程，得到

$e_{k}={\begin{vmatrix}d_{0}&d_{N-3-k}\\d_{N-3}&d_{k}\end{vmatrix}}$

由於我們想要 e₅，我們知道 k 是 5，所以我們可以將它代入方程

$e_{5}={\begin{vmatrix}d_{0}&d_{N-3-5}\\d_{N-3}&d_{5}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}d_{0}&d_{N-8}\\d_{N-3}&d_{5}\end{vmatrix}}$

當我們取行列式時，我們得到以下方程

$e_{5}=d_{0}d_{5}-d_{N-8}d_{N-3}$

進一步閱讀

我們將在附錄中討論雙線性變換和其他在拉普拉斯域和 Z 域之間轉換的方法

• Z 變換對映

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