控制系統/勞斯-赫爾維茨判據

穩定性判據

勞斯-赫爾維茨穩定性判據提供了一個簡單的演算法來確定多項式的零點是否都在複平面的左半平面（這種多項式有時被稱為“赫爾維茨”）。赫爾維茨多項式是線性連續時間不變系統穩定的關鍵要求（所有有界輸入產生有界輸出）。

必要的穩定性條件

多項式為赫爾維茨必須滿足的條件。

如果任何一個條件不滿足 - 多項式不穩定。但是，它們都可能成立並不意味著穩定。

充分的穩定性條件

如果滿足這些條件，則意味著多項式穩定。但是，一個多項式可能在不滿足一些或任何條件的情況下穩定。

勞斯判據提供了既必要又充分的條件來判斷一個多項式是否為赫爾維茨。

勞斯-赫爾維茨判據

勞斯-赫爾維茨判據包含三個獨立的測試，必須滿足所有測試。如果任何一個測試失敗，則系統不穩定，無需執行進一步的測試。因此，這些測試按從最容易確定到最難確定的順序排列。

勞斯-赫爾維茨測試是對傳遞函式的分母，即特徵方程進行的。例如，在一個閉環傳遞函式中，前向路徑為 G(s)，反饋迴路為 H(s)，我們有

$T(s)={\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)}}$

如果我們簡化這個方程，我們將得到一個分子為 N(s)，分母為 D(s) 的方程。

$T(s)={\frac {N(s)}{D(s)}}$

勞斯-赫爾維茨判據將重點關注分母多項式 D(s)。

勞斯-赫爾維茨檢驗

以下是勞斯-赫爾維茨判據的三個測試。為了方便起見，我們將使用 N 表示多項式的階數（D(s) 中 s 的最高指數的值）。方程 D(s) 可以一般地表示如下

$D(s)=a_{0}+a_{1}s+a_{2}s^{2}+\cdots +a_{N}s^{N}$

規則 1

所有係數 a_i 必須存在（非零）。

規則 2

所有係數 a_i 必須為正（等效地，所有係數都必須為負，沒有符號變化）。

規則 3

如果規則 1 和規則 2 都滿足，則從係數 a_i 形成一個勞斯表。勞斯表第一列中的每個符號變化都對應一個位於右半 s 平面的極點（因此，任何符號變化都意味著系統不穩定）。

我們將在下面解釋勞斯表。

勞斯表

勞斯表是透過取 D(s) 的所有係數 a_i，並將它們交錯排列成陣列形式來形成的。每行的最後幾列應包含零。

${\begin{matrix}s^{N}\\s^{N-1}\end{matrix}}{\begin{vmatrix}a_{N}&a_{N-2}&\cdots &0\\a_{N-1}&a_{N-3}&\cdots &0\end{vmatrix}}$

因此，如果 N 為奇數，則頂行將包含所有奇數係數。如果 N 為偶數，則頂行將包含所有偶數係數。我們可以如下填寫勞斯表的剩餘部分

${\begin{matrix}s^{N}\\s^{N-1}\\\\\\s^{0}\end{matrix}}{\begin{vmatrix}a_{N}&a_{N-2}&\cdots &0\\a_{N-1}&a_{N-3}&\cdots &0\\b_{N-1}&b_{N-3}&\cdots \\c_{N-1}&c_{N-3}&\cdots \\\cdots \end{vmatrix}}$

現在，我們可以定義所有 b、c 和其他係數，直到我們到達行 s⁰。為了填充它們，我們使用以下公式

$b_{N-1}={\frac {-1}{a_{N-1}}}{\begin{vmatrix}a_{N}&a_{N-2}\\a_{N-1}&a_{N-3}\end{vmatrix}}$

和

$b_{N-3}={\frac {-1}{a_{N-1}}}{\begin{vmatrix}a_{N}&a_{N-4}\\a_{N-1}&a_{N-5}\end{vmatrix}}$

對於我們正在計算的每一行，我們將它上面一行最左邊的元素稱為**樞紐元素**。例如，在行 b 中，樞紐元素是 a_N-1，在行 c 中，樞紐元素是 b_N-1，依此類推，直到我們到達陣列的底部。

為了獲得任何元素，我們將以下矩陣的行列式取負，然後除以樞紐元素

${\begin{vmatrix}k&m\\l&n\end{vmatrix}}$

其中

• k 是當前行上面兩行最左邊的元素。
• l 是樞紐元素。
• m 是上面兩行，當前元素右側的一個元素。
• n 是上面一行，當前元素右側的一個元素。

用 k l m n 來表示，我們的公式是

$v={\frac {(lm)-(kn)}{l}}$

示例：計算 C_N-3

為了計算 C_N-3 的值，我們必須確定 k l m 和 n 的值

• k 是上面兩行最左邊的元素：a_N-1
• l 是樞紐元素，是上面一行最左邊的元素：b_N-1
• m 是上面兩行，右側一個元素：a_N-5
• n 是上面一行，右側一個元素：b_N-5

將這些代入我們的公式，我們得到 C_N-3 的公式

${\frac {-1}{b_{N-1}}}{\begin{vmatrix}a_{N-1}&a_{N-5}\\b_{N-1}&b_{N-5}\end{vmatrix}}={\frac {a_{N-1}b_{N-5}-b_{N-1}a_{N-5}}{-b_{N-1}}}$

示例：穩定的三階系統

我們給定一個具有以下特徵方程的系統

$D(s)=s^{3}+2s^{2}+4s+3$

使用前兩個要求，我們看到所有係數都不為零，並且所有係數都為正。然後我們將繼續構建勞斯陣列

${\begin{matrix}s^{3}\\s^{2}\\s^{1}\\s^{0}\end{matrix}}{\begin{vmatrix}1&4&0\\2&3&0\\b_{N-1}&b_{N-3}&0\\c_{N-1}&c_{N-3}&0\end{vmatrix}}$

我們可以計算出所有係數

$b_{N-1}={\frac {(2)(4)-(1)(3)}{2}}={\frac {5}{2}}$

$b_{N-3}={\frac {(2)(0)-(0)(1)}{2}}=0$

$c_{N-1}={\frac {(3)\left({\frac {5}{2}}\right)-(2)(0)}{\frac {5}{2}}}=3$

$c_{N-3}={\frac {(2)(0)-\left({\frac {5}{2}}\right)(0)}{\frac {5}{2}}}=0$

將這些值填入我們的勞斯表，我們可以確定系統是否穩定

${\begin{matrix}s^{3}\\s^{2}\\s^{1}\\s^{0}\end{matrix}}{\begin{vmatrix}1&4&0\\2&3&0\\{\frac {5}{2}}&0&0\\3&0&0\end{vmatrix}}$

從這個表中，我們可以清楚地看到第一列的所有符號都是正的，沒有符號變化，因此特徵方程在RHP中沒有極點。

特殊情況：全零行

如果在計算勞斯-赫爾維茨的過程中，我們得到了一行全零，我們不會停止，實際上可以從系統中獲得更多資訊。

如果我們有一行全零，它上面的行被稱為輔助多項式，非常有用。輔助多項式的根給了我們位於jω軸上的共軛復根的精確位置。然而，需要注意的是，如果jω軸上存在重複根，那麼系統實際上是不穩定的。因此，我們必須使用輔助多項式來確定根是否重複。

輔助方程需要對s求導，求導後的方程的係數替換掉全零行。然後可以使用這些新值進一步計算勞斯表。

特殊情況：第一列出現零

在這種特殊情況下，勞斯表的第一列出現零，但該行的其他元素不為零。與上述情況類似，我們可以用一個小的變數epsilon (ε) 替換零，並使用該變數繼續我們的計算。在構建完整個表後，我們可以取epsilon趨於零的極限來得到最終值。如果（ε）上面的符號係數與它下面的符號係數相同，則表明存在純虛根。

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