控制系統/數字控制簡介
< 控制系統
(從 控制系統/離散時間穩定性 重定向)離散時間或數字系統的穩定性分析類似於連續時間系統的分析。然而，存在足夠的差異，因此需要單獨的一章來討論。
如果存在正常數 L，使得以下條件成立，則 LTI 因果系統是一致 BIBO 穩定的
![{\displaystyle x[n_{0}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6475aebd307d5c470fd8e34059615fcb0cd4861)
![{\displaystyle \|u[n]\|\leq k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/303eccf67e1d761aa092eee351727bc3108d9e09)
意味著
![{\displaystyle \|y[n]\|\leq L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b8bf7f608ba8292dd99c8721ea388a903cfa32e)
我們可以將離散時間系統的脈衝響應矩陣定義為
[脈衝響應矩陣]
![{\displaystyle G[n]=\left\{{\begin{matrix}CA^{k-1}B&{\mbox{ if }}k>0\\0&{\mbox{ if }}k\leq 0\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a3c7e26c324cb2aad5a5940457bfba00e3f77ce)
或者，在一般時變情況下
![{\displaystyle G[n]=\left\{{\begin{matrix}C\phi [n,n_{0}]B&{\mbox{ if }}k>0\\0&{\mbox{ if }}k\leq 0\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57c455ebe07eb605f959ad30aa1c65f4093b0783)
當且僅當存在正常數 L，使得對於所有非負 k 成立時，數字系統是 BIBO 穩定的
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{k}\|G[n]\|\leq L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c006c870844644293fd834f0c0e1250b8fb800d)
當且僅當傳遞函式矩陣中每個傳遞函式的每個極點的幅度小於 1 時，MIMO 離散時間系統是 BIBO 穩定的。所有傳遞函式的所有極點必須存在於 Z 平面上的單位圓內。
存在適用於數字系統的李雅普諾夫穩定性定理的離散版本。給定離散李雅普諾夫方程
[數字李雅普諾夫方程]
我們可以使用這個版本的李雅普諾夫方程來定義離散時間系統穩定性的條件
- 離散系統李雅普諾夫穩定性定理
- 一個具有系統矩陣 A 的離散系統，當且僅當存在一個唯一的矩陣 M 滿足李雅普諾夫方程（對於任何正定矩陣 N）時，該系統才是漸進穩定的。
G(z) 的每一個極點都是系統矩陣 A 的一個特徵值。但 A 的每一個特徵值不一定是 G(z) 的一個極點。與傳遞函式的極點類似，系統矩陣的所有特徵值的模都必須小於 1。數學上，
如果系統矩陣 A 的特徵值或傳遞函式的極點的模大於 1，則系統是不穩定的。
數字計算機系統存在一個固有的問題，因為可實現的計算機系統使用有限的字長進行運算。一些問題包括：
- 實數只能以有限精度表示。通常情況下，計算機系統只能準確地表示到有限位小數。
- 由於上述原因，帶有反饋的計算機系統會在每次程式迭代中累積誤差。演算法中的一步的小誤差會導致程式後期出現大的誤差。
- 計算機系統中的整數也有有限長度。因此，整數會發生“溢位”或“飽和”，具體取決於計算機系統的設計。這兩種情況都可能導致結果不準確。