控制系統/狀態空間穩定性

狀態空間穩定性

如果一個系統在狀態空間域中表示，嘗試使用任何先前的穩定性方法將該系統轉換為傳遞函式表示（甚至轉換為傳遞矩陣表示）是沒有意義的。幸運的是，還有一些其他分析方法可以用於狀態空間表示，以確定系統是否穩定。首先，讓我們先介紹一下不穩定性的概念。

不穩定

如果系統響應隨著時間的推移趨於無窮大，則稱該系統不穩定。如果我們的系統是 G(t)，那麼可以說一個系統不穩定，如果

$\lim _{t\to \infty }\|G(t)\|=\infty$

此外，當我們談論系統的穩定性時，一個關鍵的概念是平衡點的概念。

平衡點

給定一個系統f，使得

$x'(t)=f(x(t))$

如果

$f(x_{e})=0$

對於時間間隔$[t_{0},\infty )$中的所有時間t都成立，其中t₀是系統的開始時間，則稱特定狀態x_e為平衡點。

平衡點在其他書籍或文獻中也稱為“靜止點”、“臨界點”、“奇點”或“靜止狀態”。

以下定義通常要求平衡點為零。如果我們有一個平衡點x_e = a，那麼我們可以使用以下變數變化來使平衡點為零

${\bar {x}}=x_{e}-a=0$

我們還將在下面看到，系統的穩定性是根據平衡點來定義的。與平衡點概念相關的另一個概念是零點的概念。

零狀態

如果x_z = 0，則狀態x_z為零狀態。零狀態可以是平衡點，也可以不是平衡點。

穩定性定義

當且僅當零輸入狀態方程的解有界時，系統x = 0的平衡點是穩定的。等效地，x = 0是一個穩定的平衡點，當且僅當對於每個初始時間t₀，存在一個相關的有限常數k(t₀)，使得

$\operatorname {sup} _{t\geq t_{0}}\|\phi (t,t_{0})\|=k(t_{0})<\infty$

其中sup是方程的上確界或“最大”值。該方程的最大值不得超過任意有限常數k（因此它在任何點都不能是無限的）。

一致穩定性

如果系統對t₀的所有初始值都是穩定的，則稱該系統為一致穩定的。

$\operatorname {sup} _{t\geq 0}[\operatorname {sup} _{t\geq t_{0}}\|\phi (t,t_{0})\|]=k_{0}<\infty$

一致穩定性比之前提供的更一般的穩定性形式更強大。

漸近穩定性

如果系統滿足以下條件，則稱該系統為漸近穩定的。

$\lim _{t\to \infty }\|\phi (t,t_{0})\|=0$

如果系統矩陣A的所有特徵值都具有負實部，則時不變系統是漸近穩定的。如果一個系統是漸近穩定的，那麼它也是BIBO穩定的。但是反過來不成立：一個BIBO穩定的系統可能不是漸近穩定的。

一致漸近穩定性

如果系統對t₀的所有值都是漸近穩定的，則稱該系統為一致漸近穩定的。

指數穩定性

如果系統響應隨著時間的推移呈指數衰減到零，則稱該系統為指數穩定的。

對於線性系統，一致漸近穩定性與指數穩定性相同。對於非線性系統則不然。

臨界穩定性

這裡我們將討論一些關於邊緣穩定的系統的規則。由於我們正在討論特徵值和特徵向量，這些定理只適用於時不變系統。

1. 時不變系統在且僅當系統矩陣A的所有特徵值均為零或具有負實部，並且具有零實部的特徵值為A的最小多項式的單根時，才是邊緣穩定的。
2. 狀態方程的平衡點x = 0在A的所有特徵值具有非正實部，並且與具有零實部的特徵值相關聯的一組完整的不同特徵向量時，是一致穩定的。
3. 狀態方程的平衡點x = 0在且僅當系統矩陣A的所有特徵值具有負實部時，是指數穩定的。

特徵值和極點

如果線性時不變 (LTI) 系統的所有特徵值都具有負實部，則該系統是穩定的（漸近穩定的，見上文）。考慮以下狀態方程

$x'=Ax(t)+Bu(t)$

我們可以對該方程兩邊進行拉普拉斯變換，使用初始條件x₀ = 0

$sX(s)=AX(s)+BU(s)$

從兩邊減去AX(s)

$sX(s)-AX(s)=BU(s)$

$(sI-A)X(s)=BU(s)$

假設 (sI - A) 是非奇異的，我們可以用它的逆矩陣乘以兩邊

$X(s)=(sI-A)^{-1}BU(s)$

現在，如果我們記得我們從伴隨矩陣中找到矩陣逆的公式

$A^{-1}={\frac {\operatorname {adj} (A)}{|A|}}$

我們可以在這裡使用該定義

$X(s)={\frac {\operatorname {adj} (sI-A)BU(s)}{|(sI-A)|}}$

讓我們更仔細地看一下分母（我們現在稱之為D(s)）。為了保持穩定，以下條件必須成立

$D(s)=|(sI-A)|=0$

如果我們將λ替換為s，我們會發現這實際上是矩陣A的特徵方程！這意味著滿足該方程的s值（我們傳遞函式的極點）恰好是矩陣A的特徵值。在S域中，要求系統的所有極點都位於左半平面，因此A的所有特徵值都必須具有負實部。

衝激響應矩陣

我們可以定義衝激響應矩陣G(t, τ) 來進一步定義穩定性測試

[衝激響應矩陣]

$G(t,\tau )=\left\{{\begin{matrix}C(t)\phi (t,\tau )B(\tau )&{\mbox{ if }}t\geq \tau \\0&{\mbox{ if }}t<\tau \end{matrix}}\right.$

如果且僅當存在一個有限的正常數 *L*，使得對於所有時間 *t* 和所有初始條件 t₀，其中 $t\geq t_{0}$，以下積分成立，則該系統為 *一致穩定*。

$\int _{0}^{t}\|G(t,\tau )\|d\tau \leq L$

換句話說，上述積分必須具有有限值，否則系統不一致穩定。

在時不變情況下，脈衝響應矩陣簡化為

$G(t)=\left\{{\begin{matrix}Ce^{At}B&{\mbox{ if }}t\geq 0\\0&{\mbox{ if }}t<0\end{matrix}}\right.$

在時不變系統中，我們可以使用脈衝響應矩陣透過取類似的積分來確定系統是否為一致 BIBO 穩定

$\int _{0}^{\infty }\|G(t)\|dt\leq L$

其中 *L* 是一個有限常數。

正定性

這些術語很重要，將在本主題的進一步討論中使用。

• 如果對於所有 x，f(x) > 0，則 f(x) 為 *正定*。
• 如果對於所有 x，$f(x)\geq 0$，並且僅當 x = 0 時 f(x) = 0，則 f(x) 為 *半正定*。
• 如果對於所有 x，f(x) < 0，則 f(x) 為 *負定*。
• 如果對於所有 x，$f(x)\leq 0$，並且僅當 x = 0 時 f(x) = 0，則 f(x) 為 *半負定*。

如果 Hermitian 矩陣 X 的所有主子式都為正，則 X 為正定。此外，如果矩陣 X 的所有特徵值都具有正實部，則 X 為正定。這兩種方法可以互換使用。

正定性是一個非常重要的概念。以至於 Lyapunov 穩定性檢驗依賴於它。其他分類並不那麼重要，但為了完整性而包括在此。

Lyapunov 穩定性

Lyapunov 方程

對於線性系統，我們可以使用下面的 *Lyapunov 方程* 來確定系統是否穩定。我們將首先給出 Lyapunov 方程，然後給出 *Lyapunov 穩定性定理*。

[Lyapunov 方程]

$MA+A^{T}M=-N$

其中 A 是系統矩陣，M 和 N 是 *p* × *p* 方陣。

Lyapunov 穩定性定理

如果存在一個矩陣 M 滿足 *Lyapunov 方程*，其中 N 是一個任意正定矩陣，M 是一個唯一的正定矩陣，則 LTI 系統 $x'=Ax$ 是穩定的。

請注意，為了滿足 Lyapunov 方程，矩陣必須是相容的大小。事實上，矩陣 A、M 和 N 必須都是相同大小的方陣。或者，我們可以寫

Lyapunov 穩定性定理（備選）

如果系統矩陣 A 的所有特徵值都具有負實部，則對於每個正定矩陣 N，Lyapunov 方程都有一個唯一的解 M，並且該解可以透過以下方式計算：

$M=\int _{0}^{\infty }e^{A^{T}t}Ne^{At}dt$

如果可以以這種方式計算矩陣 M，則系統是漸近穩定的。

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