控制系統/穩定性

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穩定性

當一個系統不穩定時，即使系統輸入有限，系統輸出也可能無限大。這會導致許多實際問題。例如，不穩定的機器人手臂控制器可能會導致機器人危險地移動。此外，不穩定的系統通常會造成一定程度的物理損壞，這可能會很昂貴。儘管如此，許多系統本質上是不穩定的——例如，戰鬥機或發射時的火箭，是自然不穩定系統的例子。雖然我們可以設計控制器來穩定系統，但首先重要的是要了解什麼是穩定性、如何確定穩定性以及為什麼它很重要。

本節中的章節高度依賴數學，許多章節都需要微分方程的基礎知識。沒有牢固的數學基礎的讀者可能希望在閱讀這些材料之前複習《微積分》和《常微分方程》中的相關章節（或等效章節）。

在本章的大部分內容中，我們將假設系統是線性的，並且可以用一組傳遞函式或狀態空間來表示。線性系統有一個相關的特徵多項式，它告訴我們很多關於系統穩定性的資訊。如果特徵多項式的任何係數為零或負，則系統要不穩定，要不就是最多臨界穩定。需要注意的是，即使特徵多項式的所有係數都是正的，系統也可能仍然不穩定。我們將在下面更詳細地研究這一點。

BIBO 穩定性

如果系統對任何有界輸入在時間間隔 $[t_{0},\infty )$ 上都產生有界輸出，則該系統被定義為 **BIBO 穩定**。這必須對所有初始時間 t_o 成立。只要我們不對系統輸入無窮大，我們就不會得到無窮大的輸出。

如果存在一個與 t₀ 無關的正常數 k，使得對所有 t₀ 滿足以下條件，則系統被定義為 **均勻 BIBO 穩定**

\|u(t)\|\leq 1

t\geq t_{0}

意味著

\|y(t)\|\leq k

有許多不同型別的穩定性，以及與穩定性主題相關的關鍵詞。我們將在本章和接下來的幾章中討論的一些重要詞語包括：**BIBO 穩定**、**臨界穩定**、**條件穩定**、**均勻穩定**、**漸近穩定**和**不穩定**。所有這些詞語的含義略有不同。

確定 BIBO 穩定性

我們可以用數學方法證明，如果任意輸入 x 由兩個有限但大的任意常數 M 和 -M 限制，則系統 f 是 BIBO 穩定的

-M<x\leq M

我們將輸入 x 和任意邊界 M 和 -M 應用於系統以產生三個輸出

y_{x}=f(x)

y_{M}=f(M)

y_{-M}=f(-M)

現在，所有三個輸出都應該對 M 和 x 的所有可能值都是有限的，並且應該滿足以下關係

y_{-M}\leq y_{x}\leq y_{M}

如果滿足此條件，則系統是 BIBO 穩定的。

單輸入單輸出 (SISO) 線性時不變 (LTI) 系統當且僅當 $g(t)$ 在 [0,∞] 上絕對可積，或

\int _{0}^{\infty }|g(t)|\,dt\leq M<{\infty }

示例

考慮系統

h(t)={\frac {2}{t}}

我們可以應用我們的測試，選擇一個任意大的有限常數 M，和一個任意輸入 x，使得 M>x>-M

當 M 趨於無窮大（但不達到無窮大）時，我們可以證明

y_{-M}=\lim _{M\to \infty }{\frac {2}{-M}}=0^{-}

以及

y_{M}=\lim _{M\to \infty }{\frac {2}{M}}=0^{+}

所以現在，我們可以寫出我們的不等式

y_{-M}\leq y_{x}\leq y_{M}

0^{-}\leq x<0^{+}

這個不等式應該對所有可能的 x 值都成立。然而，我們可以看到，當 x 為零時，我們有以下結果

y_{x}=\lim _{x\to 0}{\frac {2}{x}}=\infty

這意味著 x 在 -M 和 M 之間，但 y_x 的值不在 y_-M 和 y_M 之間。因此，該系統不穩定。

極點與穩定性

當給定系統的閉環傳遞函式的極點位於 S 平面 (RHP) 的右半部分時，系統變得不穩定。當系統的極點位於左半平面 (LHP) 且系統不是不適當的時，系統被證明是穩定的。一些測試處理穩定性的這個特定方面：勞斯-赫維茨準則、根軌跡和奈奎斯特穩定性準則都測試傳遞函式在 RHP 中是否存在極點。我們將在接下來的章節中學習所有這些測試。

如果系統是多變數系統，或者 MIMO 系統，那麼當且僅當傳遞函式矩陣中的每個傳遞函式的每個極點的實部為負，並且傳遞函式矩陣中的每個傳遞函式都不是不適當的，系統才是穩定的。對於這些系統，可以使用後面描述的勞斯-赫維茨、根軌跡和奈奎斯特方法，但這些方法必須對傳遞函式矩陣中的每個單獨的傳遞函式執行一次。