控制系統/數字控制簡介
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離散時間或數字系統的穩定性分析類似於連續時間系統的分析。然而，存在一些差異，因此需要單獨的章節進行討論。
如果存在一個正常數 L，使得以下條件成立，則 LTI 因果系統是一致 BIBO 穩定的
![{\displaystyle x[n_{0}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6475aebd307d5c470fd8e34059615fcb0cd4861)
![{\displaystyle \|u[n]\|\leq k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/303eccf67e1d761aa092eee351727bc3108d9e09)
意味著
![{\displaystyle \|y[n]\|\leq L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b8bf7f608ba8292dd99c8721ea388a903cfa32e)
我們可以將離散時間系統的脈衝響應矩陣定義為
[脈衝響應矩陣]
![{\displaystyle G[n]=\left\{{\begin{matrix}CA^{k-1}B&{\mbox{ if }}k>0\\0&{\mbox{ if }}k\leq 0\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a3c7e26c324cb2aad5a5940457bfba00e3f77ce)
或者，在一般時變情況下
![{\displaystyle G[n]=\left\{{\begin{matrix}C\phi [n,n_{0}]B&{\mbox{ if }}k>0\\0&{\mbox{ if }}k\leq 0\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57c455ebe07eb605f959ad30aa1c65f4093b0783)
當且僅當存在正常數 L，使得對於所有非負 k，以下條件成立時，數字系統是 BIBO 穩定的
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{k}\|G[n]\|\leq L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c006c870844644293fd834f0c0e1250b8fb800d)
當且僅當傳遞函式矩陣中所有傳遞函式的每一個極點的幅值都小於 1 時，MIMO 離散時間系統是 BIBO 穩定的。所有傳遞函式的所有極點都必須位於 Z 平面的單位圓內。
存在一個離散版本的李雅普諾夫穩定性定理，適用於數字系統。給定離散李雅普諾夫方程
[數字李雅普諾夫方程]
我們可以使用這個版本的李雅普諾夫方程來定義離散時間系統穩定性的條件
- 李雅普諾夫穩定性定理（數字系統）
- 如果系統矩陣 A 的數字系統在每個正定矩陣 N 都有一個唯一的矩陣 M 滿足李雅普諾夫方程，則該系統是漸近穩定的。
G(z) 的每一個極點都是系統矩陣 A 的一個特徵值。A 的每一個特徵值都不是 G(z) 的極點。與傳遞函式的極點類似，系統矩陣的所有特徵值的幅值都必須小於 1。數學上來說
如果系統矩陣 A 的特徵值的幅值，或傳遞函式的極點大於 1，則系統不穩定。
數字計算機系統存在一個固有問題，因為可實現的計算機系統具有有限的字長來處理資料。其中一些問題包括：
- 實數只能以有限精度表示。通常情況下，計算機系統只能精確地表示一個數到有限的小數位數。
- 由於上述原因，帶有反饋的計算機系統會在每次程式迭代時累積誤差。演算法中的一步的小誤差可能會導致程式後期出現大的誤差。
- 計算機系統中的整數具有有限長度。因此，整數將根據計算機系統的設計，要麼**溢位**，要麼**飽和**。這兩種情況都可能導致不準確的結果。