離散數學/樸素集合論

當我們談論集合論時，我們通常談論的是某些數學物件的集合。在這個意義上，一個集合可以比作一個袋子，裝有有限（或可能無限）數量的物品。集合也可以是集合的集合（袋子裡有袋子）。但是，集合不能包含重複項——集合只能包含特定項的一個副本。

例如，當我們檢視某些型別的數字的集合時，例如自然數或有理數，我們可能只想談論這些集合。這些數字集合當然非常重要，因此我們用特殊的符號來表示它們。

我們用大括號——{ 和 } 來寫集合。我們在大括號中寫入所有元素，即集合包含的內容，並用逗號隔開。我們通常用大寫字母表示集合。

例如，我們用 {0,1} 表示包含數字 0 和數字 1 的集合。如果我們想給它命名，我們可以說 B={0,1}。

特殊集合

前面提到的數字集合，自然數、有理數等等，用以下符號表示

自然數寫作 $\mathbb {N}$

{0,1,2,...}

整數寫作 $\mathbb {Z}$

{0,1,-1,2,-2,...}

有理數寫作 $\mathbb {Q}$

{0,1,1/2,1/3,...,2,2/3,2/4,...}

實數寫作 $\mathbb {R}$

{0,

-{\sqrt {2}}

,

{\sqrt {2}}

,

\pi

,...}

這裡我們通常會用標準粗體而不是上面看到的雙線粗體來寫這些。因此，我們在這裡寫N而不是 $\mathbb {N}$ （注意遵循維基百科慣例）。

符號

我們可以用一些符號來寫下一些涉及集合的特殊關係。

包含關係

為了表明一個元素在一個集合中，例如，3 在集合 {1,2,3} 中，我們寫

3\in \{1,2,3\}

我們也可以用另一種方式表達這種關係：我們說 3 是集合 {1,2,3} 的一個成員。此外，我們可以說集合 {1,2,3} 包含 3，但這種用法不推薦，因為它也用於指代子集（見下文）。

如果兩個集合包含完全相同的元素，我們可以說這兩個集合相等。例如，集合 {2,3,1} 和 {3,1,2} 都包含數字 1、2 和 3。我們寫

\{2,3,1\}=\{3,1,2\}

我們將沒有元素的集合寫為 $\emptyset$ ，或 {}。這裡我們使用 {} 表示 *空集*（注意遵循維基百科的慣例）。

子集的概念

集合論和其他數學領域中一個非常重要的概念是 **子集** 的概念。

假設我們有兩個集合 A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 和 B={0,1,2,3,4,5}。現在，B *包含 A 中的一些元素*，但不是全部。我們用 B 是 A 的 *子集* 來表達 A 和 B 之間的這種關係。我們這樣寫

B\subseteq A

如果 B 是 A 的子集，但 A 不是 B 的子集，則稱 B 是 A 的 *真子集*。我們這樣寫

B\subset A

注意，如果 $B\subset A$ ，則 $B\subseteq A$

交集和並集

集合上有兩種值得注意的、基本的特殊運算，即 *交集* 和 *並集*。它們在某種程度上類似於乘法和加法。

交集

兩個集合 A 和 B 的交集是指 *兩個集合都共有的* 元素。例如，如果 A={1,3,5,7,9} 和 B={0,1,3}，則它們的交集，寫作 $A\cap B$ 是集合 {1,3}。

如果任何兩個集合的交集為空，我們說這兩個集合是 *不相交* 的。

並集

兩個集合 A 和 B 的並集是指 *兩個集合中* 的 *所有* 元素。例如，如果 A={1,3,5,7,9} 和 B={0,2,4,6,8}。我們說並集，寫作 $A\cup B$ 是集合 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}。

集合推導

當我們寫一個集合時，我們可以像上面那樣寫出集合中的所有元素。但是，如果我們想寫一個 *無限* 集合，那麼寫出所有元素就顯得過於笨拙。我們可以用 *集合推導* 表示法來解決這個問題。我們透過在集合中包含一個 *規則* 以及與一個 *指標集*（例如 I）的關係來寫這些集合。也就是說；

S=\{x\in I|rule\}

其中 rule 可以是 *x*² 或 *x*=3*x* 之類的東西。

例如，此集合形成所有偶數的集合

\{x\in \mathbb {N} |x\mod 2=0\}

此集合形成一般二次方程的所有解的集合

\{x\in \mathbb {C} |ax^{2}+bx+c=0\}

全集和補集

全集

當我們進行集合操作時，考慮一個更大的工作集合是很有用的。例如，如果我們談論集合 {-1,0,1} 和 {-3,-1,1,3}，我們可能希望在這種情況下在 **Z** 中工作。當我們談論在這樣一個更大的集合中工作時，比如在這種情況下是 **Z**，我們說 **Z** 是一個 *全集*，並且我們將所有集合都視為這個全集的子集。

我們將全集寫為 ${\mathcal {E}}$ ，但是將其表示為 **E** 可能更簡單。

補集

在更大的全集 **E** 中給定一個集合 A，我們將 A 的補集定義為 **E** 中不在 A 中的所有元素，即 A 的補集是

\{x\in {\mathcal {E}}|x\not \in A\}

我們將補集寫成 A' 或 A^c。在本檔案中，我們將使用 A'。

習題集

根據以上資訊，請回答以下問題（偶數編號問題的答案在後面給出）。

是否 $3/4\in \mathbb {Q}$ ?
是否 ${\sqrt {2}}\in \mathbb {Q}$ ?
是否 $\{x\in \mathbb {N} |2x\}=\{x\in \mathbb {N} |{x \over 2}\in \mathbb {N} \}$ ?
正確還是錯誤？如果是錯誤，請舉一個第一個集合中的元素不在第二個集合中的例子。
1. $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z}$
2. $\mathbb {Q} \subset \mathbb {Z}$
正確還是錯誤？如果是錯誤，請舉一個第一個集合中的元素不在第二個集合中的例子。
1. $\mathbb {R} \subset \mathbb {Q}$
2. $\mathbb {Z} \subset \mathbb {R}$
是否 $\{1,2,3\}\subset \{1,2,3,4\}$ ?
是否 $\{1,2,3,5\}\subseteq \{1,2,3,4\}$ ?
寫出以下集合的 5 個元素：
$\{x\in \mathbb {Z} |x-3\mod 2=0\}$
寫出以下集合的元素：
$\{x\in \mathbb {C} |x^{2}+4x-3=0\}$
找到一個包含以下集合的全集： $\{x\in \mathbb {Z^{+}} |a=x^{2}and\ {\sqrt {a}}\in \mathbb {N} \},\{x\in \mathbb {N} |x/3\}$
給定 ${\mathcal {E}}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ ，求給定 $A={1,4,7,9}$ 的A'。