Zermelo-Fraenkel集合論，包括選擇公理，通常縮寫為ZFC，是公理化集合論的標準形式，因此也是數學最常見的基石。
ZFC包含一個原始概念，即集合，以及一個假設，即所有數學物件都是集合。存在一個原始二元關係，即集合成員關係；集合a是集合b的成員，記為
（通常讀作“a是b的元素”或“a在b中”）。ZFC的公理規定了集合的行為和相互作用。
1. 外延公理：兩個集合相等（是同一個集合）當且僅當它們具有相同的元素。
![{\displaystyle \forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d7b175ec36a59df864706ac6cfa8976c10e71d0)
此公理的逆命題來自等式的替換性質。如果背景邏輯不包括等式“=”，則x=y可以定義為縮寫∀z[z∈x↔z∈y] ∧ ∀z[x∈z↔y∈z]，在這種情況下，該公理可以重新表述為![{\displaystyle \forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow \forall z(x\in z\Leftrightarrow y\in z)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44b1e8b20e39514ecabe08db08307aeb674e9878)
— 如果x和y具有相同的元素，則它們屬於相同的集合。
2. 正則公理（也稱為基礎公理）：每個非空集合x包含一個成員y，使得x和y是不相交的集合。
![{\displaystyle \forall x[\exists y(y\in x)\Rightarrow \exists y(y\in x\land \lnot \exists z(z\in y\land z\in x))].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ec56857b648d8db5fc0f7d01e19232afcc2ca15)
3. 規格化公理模式（也稱為分離公理模式或受限理解公理模式）：如果z是一個集合，並且
是任何可以刻畫z的元素x的性質，則存在z的一個子集y，包含滿足該性質的z中的x。更正式地說
![{\displaystyle \forall z\forall w_{1}\ldots w_{n}\exists y\forall x[x\in y\Leftrightarrow (x\in z\land \phi )].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af1f3d48564579cde9c898f3da6735629be01988)
規格化公理可以用來證明空集的存在，記為
，一旦建立了至少存在一個集合（見上文）。一個常見的做法是使用規格化公理的某個例項來表示所有集合都不具有的性質。例如，如果w是已經存在的集合，則空集可以構建為
.
如果背景邏輯包含等式，則也可以將空集定義為
.
因此，空集公理可以從這裡提出的九個公理推匯出來。外延公理意味著空集是唯一的，如果它存在的話。通常會進行定義上的擴充套件，將符號 新增到 ZFC 的語言中。
4. 配對公理： 如果 *x* 和 *y* 是集合，那麼存在一個包含 *x* 和 *y* 作為元素的集合。
5. 並集公理： 對於任何集合 
，存在一個集合 *A*，它包含 的每個成員的每一個元素。
6. 集合替換公理模式： 這個公理指出，如果一個函式 *f* 的定義域是一個集合，並且 *f*(*x*) 是定義域中任何 *x* 的一個集合，那麼 *f* 的值域是一個集合的子類，受限於避免悖論所需的限制。
7. 無窮公理： 設 
簡寫 
，其中 
是某個集合。那麼存在一個集合 *X*，使得空集 是 *X* 的成員，並且，當一個集合 *y* 是 *X* 的成員時，
也是 *X* 的成員。
![{\displaystyle \exists X\left[\varnothing \in X\land \forall y(y\in X\Rightarrow S(y)\in X)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd396541416f002cb2d9c916604004b292815d41)
更通俗地說，存在一個具有無限多成員的集合 *X*。
8. 冪集公理： 設 
簡寫 
對於任何集合 *x*，存在一個集合 *y*，它是一個包含 *x* 的冪集的超集。*x* 的冪集是所有 *x* 的所有可能的子集的類。
![{\displaystyle \forall x\exists y\forall z[z\subseteq x\Rightarrow z\in y].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f6acd98b5529aadefd8f2990b7b9c913d39f0ec)
公理 **1–8** 的另一種形式經常被使用。一些 ZF 公理化系統包括一個公理斷言空集的存在。配對、並集、替換和冪集的公理通常被表述為，集合 *x* 的成員的存在被斷言，僅僅是那些公理斷言 *x* 必須包含的集合。
**9. 良序定理：**對於任何集合 *X*，存在一個良序 *X* 的二元關係 *R*。這意味著 *R* 是 *X* 上的一個線性序，使得 *X* 的每個非空子集都有一個關於 *R* 最小的成員。
給定公理 **1-8**，有許多與公理 **9** 等價的命題，其中最著名的是選擇公理（AC），內容如下。設 *X* 是一個集合，它的成員都是非空的。那麼存在一個函式 *f*，稱為“選擇函式”，它的定義域是 *X*，它的值域是一個集合，稱為“選擇集”，它的每個成員都是 *X* 中每個成員的單個成員。由於當 *X* 是一個有限集時，選擇函式的存在很容易從公理 **1-8** 中證明出來，所以 AC 僅僅對某些無限集有效。AC 的特點是非構造性的，因為它斷言選擇集的存在，但沒有說明選擇集是如何被“構造”的。許多研究試圖描述由 AC 斷言存在的某些集合的可定義性（或不可定義性）。
