動力系統/曼德博集合

定義（曼德博集合）:

對於 $c\in \mathbb {C}$，定義 $f_{c}(z):=z^{2}+c$。**曼德博集合** 是複平面 $\mathbb {C}$ 的點集 $c$，使得集合

$\{f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),f_{c}(f_{c}(f_{c}(0))),\ldots \}\subset \mathbb {C}$

是有界的。

這是一張曼德博集合的圖片

該集合促使了以下更精確的定義

定義（曼德博型集合）:

我們定義**曼德博型集合** 為複平面上點集 $c$，使得

$\{f(c,0),f(c,f(c,0)),f(c,f(c,f(c,0))),\ldots \}$

是 $\mathbb {C}$ 的有界子集，其中 $f:\mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ 是兩個變數的解析函式，且

$\{f(c,0),f(c,f(c,0)),f(c,f(c,f(c,0))),\ldots \}$

一旦其元素的模量超過某個閾值 $C>0$，將會無界。

命題（曼德博型集合是有界的）:

命題（曼德博型集合是閉合的）:

命題（曼德博型集合是緊緻的）:

命題（曼德博型集合是單連通的）:

設 $M$ 是一個曼德博型集合。那麼 $M$ 是單連通的。

證明：假設不成立。則 $M$ 的補集將有一個有界分量 $A\subset \mathbb {C}$。取任意點 $c_{0}\in {\overset {\circ }{A}}$。然後歸納地定義 $\phi _{n}(c):=f(c,\phi _{n-1}(c))$，其中 $\phi _{0}(c)=0$；這是迭代函式，並且是全純的。根據假設，存在 $n$ 使得 $|\phi _{n}(c_{0})|>C$。但根據 最大值原理，對於某個 $c_{1}\in \partial A$，有 $|\phi _{n}(c_{1})|>C$，因此 $c_{1}\in \partial A\cap M^{c}$。但 $M$ 是閉集。 $\Box$