計量經濟學理論/虛擬變數

健康保險公司通常會對不同型別的人收取不同的費用。他們根據自己的資料瞭解到，年輕人通常不太需要去看醫生，因此他們收取的保險費更低。他們的資料表明，年齡和醫療費用呈正相關，事實上，一個是另一個的“原因”。他們根據其他人口統計資料來組織其保險費率。其中一個是客戶是否吸菸，有些甚至使用性別。但他們是如何得出吸菸者更貴的結論，或者說覆蓋男性的成本與覆蓋女性的不同？這些不是定量的資料，所以不能迴歸，對吧？不，我們可以讓它們看起來像是定量的，而不是定性的。

虛擬變數

虛擬變數或指示變數是將這些定性資料點操作為定量資料點。在將醫療費用與吸菸習慣相關聯的情況下，我們可以說吸菸者為1，非吸菸者為0。我們的因變數是醫療費用。

我們的模型將如下所示：$Y_{i}=\alpha +\beta D_{i}+\epsilon _{i}$ 其中 D 是我們的虛擬變數（吸菸），Y 是我們的因變數（醫療費用）。假設非吸菸者的醫療費用為 50 美元，吸菸者的醫療費用為 60 美元，那麼我們的模型將是 $Y_{i}=50+10D+\epsilon _{i}$。當我們檢視的是非吸菸者時，D = 0，當我們檢視的是吸菸者時，D = 1。

我們也可以用多個資訊（變數）進行迴歸。我們還可以將我們的正常資料與多個虛擬變數混合在一起。 $HealthCare_{i}=\beta _{1}age_{i}+\beta _{2}Smoke_{i}+\beta _{3}Gender_{i}+\epsilon _{i}$（性別 = 1 為男性，性別 = 0 為女性）

我們根據資料得出的估計模型將是 $HealthCare_{i}={\hat {\beta _{0}}}age_{i}+{\hat {\beta _{1}}}Smoke_{i}+{\hat {\beta _{2}}}Gender_{i}+\epsilon _{i}$

一位 29 歲的男性非吸菸者的公式將是 $HealthCare_{i}={\hat {\beta _{0}}}29+{\hat {\beta _{2}}}+\epsilon$

我們的虛擬變數可以不僅僅是二元的。假設醫療保健公司發現幸福可以導致更高的健康水平，他們想將其用於價格歧視計劃。他們可以問“你有多幸福？非常幸福，有點幸福，悲傷”。但是，他們需要使用兩個虛擬變數來進行此操作。如果“非常幸福”，則 D1 為 1 且 D2 為 0，如果“有點幸福”，則 D1 為 0 且 D2 為 1，如果“悲傷”，則 D1 為 0 且 D2 為 0。

為了將此新增到我們的模型中，我們將有 $HealthCare_{i}={\hat {\beta _{0}}}age_{i}+{\hat {\beta _{1}}}Smoke_{i}+{\hat {\beta _{2}}}Gender_{i}+{\hat {\beta _{3}}}VeryHappy_{i}+{\hat {\beta _{4}}}KindOfHappy_{i}+\epsilon _{i}$

斜率與截距變化

虛擬變數可以透過兩種方式影響模型。虛擬變數可以向上或向下移動截距，或使斜率變緩或變陡。上面描述的都是截距移動。對於非吸菸者，直線保持中立，對於吸菸者，直線上移。對於斜率移動，虛擬變數與標準變數處於同一項中，如 $Y_{i}=\alpha +\beta _{1}X_{i}+\beta _{2}D_{i}X_{i}+\epsilon$，其中如果 D = 1，$Y_{i}=\alpha +(\beta _{1}+\beta _{2})X_{i}+\epsilon$，如果 D = 0 $Y_{i}=\alpha +\beta _{1}X_{i}+\epsilon$

注意：在本例中，虛擬變數和標準變數的組合是互動項。它通常被描述為一個變數，如 $D_{i}X_{i}=Z_{i}$