計量經濟學理論/異方差性

我們線性迴歸的CLR假設之一是擾動項是同方差的，這意味著它們具有相同的離散程度($Var(\epsilon )=\sigma ^{2}$)。然而，有時迴歸最終會得到異方差的擾動項，這意味著離散程度不相等($Var(\epsilon )=\sigma _{i}^{2}$)。

異方差，錐形

異方差性的原因

異方差在橫截面資料中比在時間序列資料中更常見。它通常是由於規模或大小因素造成的。

示例：在基本的凱恩斯經濟學中，我們假設儲蓄和收入由財富和收入決定。擁有更多財富和收入的主體更有可能儲蓄，這將產生異方差關係。主要原因包括：1. 異常值的存在 2. 變數遺漏 3. 迴歸變數分佈的偏度 4. 不正確或錯誤的函式形式

異方差性的後果

1) OLS係數對於真實值仍然是無偏的。 $E({\hat {\beta }})=\beta$

無偏係數取決於$E(\epsilon )=0,cov(x_{i},\epsilon _{i})=0$

因此，迴歸在這個假設下不受異方差性的影響。

2) OLS係數不是有效的。存在OLS係數的替代方案，其方差小於OLS係數的方差。 $\exists _{\tilde {\beta }}st.var({\tilde {\beta }})<var({\hat {\beta }}^{OLS})$ 其中$E({\tilde {\beta }})=\beta$，因此，更有效。

3) 在存在OLS係數異方差的情況下，基於係數標準誤的假設檢驗是無效的。

OLS估計量的估計方差中的偏差會導致效率低下。

回顧：${\hat {\beta }}^{OLS}=\beta +{\frac {\sum (x_{i}+{\bar {x}})\epsilon _{i}}{\sum (x_{i}+{\bar {x}})^{2}}}$

當${\hat {\beta }}$是無偏的時，第二項趨於零。然而，在異方差的情況下，第二項不為零。

推導$var({\hat {\beta }}^{OLS})$，當$var(\epsilon )=\sigma _{i}^{2}$$var({\hat {\beta }}^{OLS})=var({\frac {\sum (x_{i}+{\bar {x}})\epsilon _{i}}{\sum (x_{i}+{\bar {x}})^{2}}})$ $=({\frac {1}{\sum (x_{i}-{\bar {x}})^{2}}})^{2}var(\sum (x_{i}-{\bar {x}})\epsilon )$ $=({\frac {1}{\sum (x_{i}-{\bar {x}})^{2}}})^{2}\sum var((x_{i}-{\bar {x}})\epsilon )$ $=({\frac {1}{\sum (x_{i}-{\bar {x}})^{2}}})^{2}\sum x_{i}-{\bar {x}})^{2}var(\epsilon )$ $=({\frac {1}{\sum (x_{i}-{\bar {x}})^{2}}})^{2}\sum x_{i}-{\bar {x}})^{2}\sigma _{i}^{2}$

我們可以用矩陣 Z 來表示誤差項方差的差異

$\sigma _{i}^{2}=Z\sigma ^{2}$