計量經濟學理論/多元迴歸分析

我們最初的迴歸（MLE 和 OLS）是雙變數的。我們的線是簡單的，兩變數線。然而，在大多數經濟資料中，存在許多可能影響因變數的獨立因素。因此，我們可以擴充套件解釋函式以允許多個獨立變數。

我們的函式不再看起來像 $Y_{=}\alpha +\beta X_{i}+\epsilon _{i}$，而是看起來像 $Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}X_{1,i}+\beta _{2}X_{2,i}+\cdots +\beta _{n}X_{n,i}+\epsilon _{i}$

透過向我們的模型新增更多變數和資料，我們可以有望更好地擬合和理解因變數。但是，隨著變數的增加，也會出現一些問題，這些問題會誤導我們的模型。

擬合優度

當我們轉向多元迴歸情況時，我們的擬合優度看起來與以前在雙變數情況下的非常相似。TSS = ESS + RSS。我們的 R² = ESS/TSS) = 1 - (RSS/TSS)。我們仍然可以使用我們的決定係數 R² (R² = ESS/TSS = 1 - (RSS/TSS))，但它存在一個問題。R² 永遠不會因為新增變數而減少，無論該變數是否有助於我們解釋因變數。當我們在函式中新增一個新變數時，ESS 是根據更大的一組變數計算的，ESS 將大於或等於我們之前擁有的值。這將導致我們的 R² 增加，即使新增新變數損害了我們的模型。有一個工具可以解決這個問題。R² 被用調整後的 R² 替換，它根據新增的自由度進行調整。調整後的 R² 透過在 'R' 上方新增一個橫線來表示。

${\bar {R^{2}}}=1-({\frac {\hat {var(\epsilon )}}{\hat {var(Y)}}})$