計量經濟學理論/機率密度函式 (PDF)

離散隨機變數的機率質量函式

機率質量函式 f(x) (PMF) 是一個根據輸入變數 x 確定機率的函式，其中 x 是一個離散隨機變數 (rv)。

pmf必須滿足以下性質

$f(x)={\begin{cases}P(X=x_{i})&{\mbox{for }}i=1,2,\cdots ,n\\0&{\mbox{for }}x\neq x_{i}\end{cases}}$

\sum _{i}f(x_{i})=1.

連續 PDF 要求輸入變數 x 現在是一個連續 rv。必須滿足以下條件

$f(x)\geq 0$

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1$

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=P(a\leq x\leq b)$

聯合pdf 是兩個或多個隨機變數的函式。函式

${\begin{aligned}f(X\in A,Y\in B)&=\int _{A}\,\int _{B}f(x,y)\,dx\,dy\\&=0,{\mbox{if }}x\notin A{\mbox{ and }}y\notin B\\\end{aligned}}$

是連續聯合機率密度函式。它給出了 x 和 y 的聯合機率。

函式

${\begin{aligned}p(X\in A,Y\in B)&=\sum _{X\in A}\sum _{Y\in B}p(x,y)\\&=0,{\mbox{if }}x\notin A{\mbox{ and }}Y\notin y\\\end{aligned}}$

類似地，它是**離散聯合機率密度函式**

邊際**PDF**是從聯合PDF推匯出來的。如果將聯合pdf在X變數的分佈上積分，則可以得到y的邊際PDF， $f(y)$ 。連續邊際機率分佈函式為

$f(x)=\int _{y}^{B}f(x,y)dy$

$f(y)=\int _{x}^{A}f(x,y)dx$

離散邊際機率分佈函式為

$p(x)=\sum _{y\in B}p(x,y)$

$p(y)=\sum _{x\in A}p(x,y)$

$f(x\mid y)=P(X=x,Y=y)={\frac {f(x,y)}{f(y)}}$

$f(y\mid x)=P(Y=y,X=x)={\frac {f(x,y)}{f(x)}}$

Gujarati, D.N. (2003)。基本計量經濟學，國際版 - 第 4 版。麥格勞-希爾高等教育。第 870-877 頁。ISBN 0-07-112342-3。