計量經濟學理論/β1 屬性證明

線性

為了線性，${\hat {\beta }}_{1}$ 必須是 $Y_{i}$ 的線性函式，如下所示

${\hat {\beta }}_{1}=\sum {k_{i}Y_{i}}$

其中 $k_{i}$ 是一個常數，在任何給定的觀察 'i' 中。

證明

從 OLS 正規方程 ${\hat {\beta }}_{1}$ 的均值偏差形式解中，我們有

${\hat {\beta }}_{1}={\frac {\sum {x_{i}y_{i}}}{\sum {x_{i}^{2}}}}={\frac {\sum {x_{i}(Y_{i}-{\bar {Y}})}}{\sum {x_{i}^{2}}}}={\frac {\sum {x_{i}Y_{i}}}{\sum {x_{i}^{2}}}}-{\frac {\sum {x_{i}{\bar {Y}}}}{\sum {x_{i}^{2}}}}$

$={\frac {\sum {x_{i}Y_{i}}}{\sum {x_{i}^{2}}}}$，因為 ${\sum {x_{i}}}=0$。

$=\sum {k_{i}Y_{i}}$，其中 $k_{i}={\frac {x_{i}}{\sum {x_{i}}}}$，對於任何給定的 'i' 值，這是一個常數。