計量經濟學理論/序列相關

在時間序列資料中，尤其是，CLR 的 $corr(\epsilon _{t},\epsilon _{t-1})=0$ 假設被打破。在計量經濟學中，這被稱為 **序列相關** 或 **自相關**。這意味著 $corr(\epsilon _{t},\epsilon _{t-1})\neq 0$ 並且在誤差項之間存在模式。然後誤差項在觀察之間不是獨立分佈的，並且不是 *嚴格* 隨機的。

自相關的例子

$corr(\epsilon _{t},\epsilon _{t-1})>0$

$corr(\epsilon _{t},\epsilon _{t-1})<0$

函式形式

當誤差項與前一個誤差項相關時，它可以寫成代數方程。 $\epsilon _{t}=\rho \epsilon _{t-1}+u_{t}$ 其中 ρ 是兩個擾動項之間的自相關係數，u 是自相關的擾動項。這被稱為 **自迴歸過程**。 $-1<\rho =corr(\epsilon _{t},\epsilon _{t-1})<1$ 方程中需要 u，因為雖然誤差項的隨機性較低，但它仍然具有一定的隨機影響。

N 階序列相關

自迴歸模型

一階自迴歸過程，**AR(1)**: $\epsilon _{t}=\rho \epsilon _{t-1}+u_{t}$ $\epsilon _{t}=\rho \epsilon _{t-1}+u_{t}$
- 由於誤差項僅依賴於前一個誤差項，因此這被稱為一階自迴歸。
N 階自迴歸過程，**AR(n)**: $\epsilon _{t}=\rho _{1}\epsilon _{t-1}+\rho _{2}\epsilon _{t-2}+\cdots +\rho _{n}\epsilon _{t-n}+u_{t}$

移動平均模型

符號 MA(q) 指的是q 階移動平均模型

X_{t}=\mu +\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{t-i}\,

其中 θ₁, ..., θ_q 是模型的引數，μ 是 $X_{t}$ 的期望值（通常假設等於 0），而 $\varepsilon _{t}$ ， $\varepsilon _{t-1}$ ，... 再次是白噪聲誤差項。移動平均模型本質上是一個具有附加解釋的有限脈衝響應濾波器。

自迴歸移動平均模型

ARMA(p, q) 表示法是指具有 p 個自迴歸項和 q 個移動平均項的模型。該模型包含 AR(p) 和 MA(q) 模型，

X_{t}=c+\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{t-i}.\,

自相關的原因

空間自相關

$corr(\epsilon _{t},\epsilon _{t-1})\neq 0$ 空間自相關發生在兩個誤差在空間和/或地理上相關時。簡單來說，它們是“彼此相鄰的”。**示例：**聖保羅市發生犯罪飆升，因此他們僱傭了額外的警力。第二年，他們發現犯罪率大幅下降。令人驚訝的是，在同一時期，沒有調整警力的明尼阿波利斯市卻發現其犯罪率有所上升。

注意：這種型別的自相關發生在橫截面樣本中。

慣性/調整時間
1. 這經常發生在宏觀時間序列資料中。美國利率意外上升，因此與其他國家/地區的匯率也發生了相應的變化。達到新的均衡可能需要一些時間。
持久影響
1. 這仍然是一個宏觀時間序列問題，涉及經濟衝擊。現在預計美國利率會上升。## 相關匯率將緩慢調整，直到美聯儲宣佈，並且可能會超過均衡水平。
資料平滑/操縱
1. 使用函式平滑資料將使自相關進入擾動項。
錯誤指定
1. 當存在遺漏變數時，迴歸通常會顯示自相關的跡象。由於缺失的獨立變數現在存在於擾動項中，我們得到一個看起來像 $\epsilon _{t}=\beta _{2}X_{2}+u_{t}$ 的擾動項，而正確的指定是 $Y_{t}=\beta _{0}+\beta _{1}X_{1}+\beta _{2}X_{2}+u_{t}$

自相關的後果

自相關的主要問題是它可能使模型看起來比實際情況更好。

後果列表

係數仍然是無偏的 $E(\epsilon _{t})=0,cov(X_{t},u_{t})=0$
${\hat {\beta }}$ 的真實方差會因自相關的存在而增加。
${\hat {\beta }}$ 的估計方差由於自相關而變小（向下偏差）。
當 $se({\hat {\beta }})$ 減小，而t統計量增加時，這會導致估計量看起來比實際更準確。
R² 會被高估。

所有這些問題會導致假設檢驗失效。

自相關檢驗

雖然不具有決定性，但可以透過檢視因變數與誤差項的圖形（即殘差散點圖）來獲得一些印象。
德賓-沃森檢驗
1. 假設 $\epsilon _{t}=\epsilon _{t-1}\rho +u_{t}$
2. 檢驗 H(0)：ρ = 0（無 AC）與 H(1)：ρ > 0（單尾檢驗）
3. 檢驗統計量 $DW={\frac {\sum (\epsilon _{t}-\epsilon _{t-1})^{2}}{\sum \epsilon ^{2}}}=2-2\rho$

任何低於 D(L) 的值（在 D-W 表中）都會拒絕零假設，並且存在 AC。
任何介於 D(L) 和 D(W) 之間的值都不會讓我們得出關於 AC 的結論。
任何大於 D(W) 的值都會接受零假設，並且不存在 AC。

注意，這是一個單尾檢驗。要獲取另一個尾部。使用 4 - DW 作為檢驗統計量。