計量經濟學理論/求和與乘積運算子

為了對一系列變數$x$求和，使用希臘大寫字母sigma Σ

$\Sigma _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}$.

關於求和運算子Σ有一些性質

1. $\Sigma _{i=1}^{n}k=nk$，其中k為常數。

2. $\Sigma _{i=1}^{n}kx_{i}=k\Sigma _{i=1}^{n}x_{i}$，其中k為常數。

3. $\Sigma _{i=1}^{n}(a+bx_{i})=na+b\Sigma _{i=1}^{n}x_{i}$，其中a和b為常數。這是根據上面規則1和2得出的結果。

4. $\Sigma _{i=1}^{n}(x_{i}+y_{i})=\Sigma _{i=1}^{n}x_{i}+\Sigma _{i=1}^{n}y_{i}$，

雙重求和運算子用於對同一變數進行兩次求和

${\begin{aligned}\Sigma _{i=1}^{n}\Sigma _{j=1}^{m}x_{ij}&=\Sigma _{i=1}^{n}(x_{i1}+x_{i2}+\ldots +x_{im})\\&=(x_{11}+x_{21}+\ldots +x_{n1})+(x_{12}+x_{22}+\ldots +x_{n2})+\ldots +(x_{1m}+x_{2m}+\ldots +x_{nm})\\\end{aligned}}$

雙重求和運算子具有以下性質

1. $\Sigma _{i=1}^{n}\Sigma _{j=1}^{m}x_{ij}=\Sigma _{j=1}^{m}\Sigma _{i=1}^{n}x_{ij}$。求和符號的順序是可以互換的。

2. $\Sigma _{i=1}^{n}\Sigma _{j=1}^{m}x_{i}y_{j}=\Sigma _{i=1}^{n}x_{i}\Sigma _{j=1}^{m}y_{j}$。

3. $\Sigma _{i=1}^{n}\Sigma _{j=1}^{m}(x_{i}+y_{j})=\Sigma _{i=1}^{n}x_{i}\Sigma _{j=1}^{m}x_{i}j+\Sigma _{i=1}^{n}x_{i}\Sigma _{j=1}^{m}y_{ij}$。

4. ${\begin{aligned}\left[\Sigma _{i=1}^{n}x_{i}\right]^{2}&=\Sigma _{i=1}^{n}{x_{i}}^{2}+2\Sigma _{i=1}^{n-1}\Sigma _{j=i+1}^{n}x_{i}x_{j}\\&=\Sigma _{i=1}^{n}{x_{i}}^{2}+2\Sigma _{i<j}x_{i}x_{j}\\\end{aligned}}$。

最後，乘積算符 Π 定義為：$\Pi _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}$。

參考文獻

• Gujarati, D.N. (2003). 基本計量經濟學，國際版 - 第4版. McGraw-Hill Higher Education. pp. 869–870. ISBN 0-07-112342-3.