電動力學/安培定律

電動力學

在物理學中，安培環路定律，由安德烈-瑪麗·安培發現，將閉合迴路中的迴圈磁場與其穿過迴路的電流聯絡起來。它是高斯定律的磁學等價物。

安培環路定律的原始形式

在它的原始形式中，安培環路定律將磁場 $\mathbf {B}$ 與它的源頭，電流密度 $\mathbf {J}$ 聯絡起來。

[安培定律]

\oint _{C}\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\iint _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =I_{\mathrm {enc} }

其中

\oint _{C}

是圍繞輪廓（閉合曲線）C 的閉合線積分。

\mathbf {H}

是以安培/米為單位的磁場。

\mathrm {d} \mathbf {l}

是輪廓C 的微小元素（微分），

\mathbf {J}

是穿過由輪廓C 包圍的表面S 的電流密度（以安培/平方米為單位）

\mathrm {d} \mathbf {S} \!\

是表面S 的微分向量面積元素，具有無限小的幅度，方向垂直於表面S，

I_{\mathrm {enc} }\!\

是曲線C 包圍的電流，或者更確切地說，是穿透表面S 的電流。

等效地，原始方程的微分形式為

\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} =\mathbf {J}

線上性介質中，磁場 $\mathbf {H}$ 與磁通密度 $\mathbf {B}$ （以特斯拉為單位）的關係為

\mathbf {B} \ =\ \mu \mathbf {H}

其中 $\mu \!\$ 是介質的磁導率（以亨利/米為單位），根據定義，在自由空間中為 $4\pi \times 10^{-7}$ 。

右手螺旋定則是一個用來視覺化磁場方向的記憶術，該磁場 $\mathbf {B}$ 環繞著電流密度 $\mathbf {J}$ .

詹姆斯·克拉克·麥克斯韋將位移電流概念化為介質渦旋海中的極化電流，他用它來對磁場進行流體力學和力學建模。他在 1861 年的論文論物理力線中的第 (112) 式中將這種位移電流新增到安培環路定律中。

由麥克斯韋修正的廣義定律採取以下積分形式

[安培-麥克斯韋定律]

\oint _{C}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\iint _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} +{\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\iint _{S}\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}

其中線上性介質中

\mathbf {D} \ =\ \varepsilon \mathbf {E}

是位移通量密度（以庫侖每平方米為單位）。

這個 *安培-麥克斯韋定律* 也可以用微分形式表示

\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}

其中第二項來自位移電流。

透過新增位移電流，麥克斯韋能夠假設（正確地）光是一種電磁波。參見電磁波方程以瞭解有關這一重要發現的討論。我們將在後面的章節中討論麥克斯韋的所有定律。

安培定律在磁學中的地位相當於高斯定律在電學中的地位。它稍微複雜一些，在掌握它之前，您應該先了解高斯定律。

想象一根有電流流過的導線，右手螺旋定則說，會有一條磁場線繞著導線旋轉，就像你將拇指指向傳統電流的方向時，其他手指的指向一樣。

您可以預測，磁場線將按比例旋轉，旋轉的大小與電流成正比。安培定律將告訴您如何計算它。

想象一根無限長的導線垂直於紙面向內，流過電流 **I**。**畢奧-薩伐爾定律** 指出，無限長導線產生的磁場為

B={\frac {\mu _{0}I}{2\pi s}}

現在沿著導線逆時針方向，在圓形路徑 *l* 上對 B 進行積分

{\begin{matrix}\oint \mathbf {B} \cdot d\mathbf {l} &=&\oint {\frac {\mu _{0}I}{2\pi s}}dl\\\\\ &=&{\frac {\mu _{0}I}{2\pi s}}\oint dl\\\\\ &=&\mu _{0}I_{Enc}\end{matrix}}

上面是安培定律的積分形式，像高斯定律一樣，安培定律也有微分形式。

\oint \mathbf {B} \cdot d\mathbf {l} =\mu _{0}I_{Enc}

現在將 J 視為體積電流密度，並使用斯托克斯定理，我們得到

\int (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} )\cdot d\mathbf {a} =\mu _{0}\int \mathbf {J} \cdot d\mathbf {a}

因此

$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J}$

你可能想查閱叉積