線性代數/向量

向量通常用在物理學和其他領域來表示無法用標量準確描述的量。標量只是一個單維度的值——一個實數。例如，可以這麼說，他們已經行駛了 5 公里，一個小時已經過去了，或者某物的質量是 20 公斤。在所有這些情況下，都只說明瞭一個值。

但是，我們可能還有更多資訊想要提供。以行駛 5 公里為例。在這種情況下，知道你行駛了多遠可能很有用，但知道你行駛了哪個方向也可能同樣重要，例如正東方向行駛 5 公里。現在，根據你的起點，就可以確定你確切行駛到了哪裡。

定義

可以使用三角學來用數學方法描述向量。

我們可以將向量定義為由大小和方向組成的有序對。在這個圖中，r 是該向量的大小，θ 是方向。注意，現在，我們已經水平移動了r cos(θ)，垂直移動了r sin(θ)。它們分別被稱為x分量和y分量。

我們也可以用 x 和 y 分量方便地寫出一個向量。我們用${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$來表示向量。在某些文字中，你可能會看到向量被橫向寫成 (x, y)，但當你寫的時候，將它們向下寫成列的形式會有很大的幫助。在印刷中，我們通常使用粗體向量，但由於你可能沒有使用粗體字型的筆，因此請在你的向量下劃線，即寫v，或在你的向量下面加一個波浪線。在物理學中，你偶爾可能會看到向量用一個向右的箭頭表示。

注意，向量不一定只有兩個分量。我們可能有 2 個、3 個或n 個，甚至無限多個分量。

我們將所有具有 2 個實數分量的向量集合寫為R²；對於 3 個、n 個或無限多個分量也是如此。對於具有複數分量的向量，我們寫為C。多項式也是“向量”——我們將在後面檢視多項式集合的表示法。關於我們這樣做的原因，請參閱集合論以獲得解釋。

拉伸和收縮

我們可以定義一些對向量的操作。如果我們延長向量會發生什麼？或者如果我們縮短向量會發生什麼？向量的方向不會改變，只有它的長度——它的大小。我們執行拉伸或收縮向量的操作是將它的大小乘以某個量。我們將此稱為標量乘法：我們將向量乘以一個標量實數。

標量乘法

對於標量乘法，我們只需將每個分量乘以標量即可。我們通常用希臘字母表示標量，用英文字母表示向量。

因此，對於標量值為 λ 和由r 和 θ 定義的向量v，新向量現在是 λr 和 θ。注意方向沒有改變。

示例

假設我們有${\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$，我們希望將大小翻倍。所以，$2{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}}$.

向量的加法

簡單來說，要新增兩個向量，你必須將它們各自的 x 分量加在一起以獲得新的 x 分量，同樣地將兩個 y 分量加在一起以獲得新的 y 分量。

示例

假設我們有 $\mathbf {v_{1}} ={\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}},\mathbf {v_{2}} ={\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}}$，我們希望將它們加起來。因此，$\mathbf {v_{1}} +\mathbf {v_{2}} ={\begin{pmatrix}6\\9\end{pmatrix}}$。

向量減法

兩個向量 a 和 b 的減法運算 a-b，也可以寫成 a+(-1)b。因此，我們可以使用標量乘法來求 (-1)b 的值，然後使用向量加法來求解。

複數作為向量

^ 複數 可以用 $r(cos(\theta )+isin(\theta ))$ 或等效地 $re^{i\theta }$ 的形式表示，換句話說，就是大小為 $r$ 方向為 $\theta$ 的向量。在複平面中，該向量具有一個實數 x 分量和一個虛數 y 分量。有關更多資訊，請參見 複數。

直線和平面

我們可以使用向量來形成直線和平面的方程。讓我們看看如何做到這一點。

直線的向量方程

考慮向量 $\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$。讓我們考慮以下情況

$2\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}$

$-\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}}$

$3\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}}$

如果我們有方程 λv，很明顯，對於我們選擇的每個 λ，我們都會在直線 y=2x 上得到一個不同的點。

現在，我們可以將此想法推廣到直線的向量方程（並且它也不限於二維）。

直線的向量方程由下式給出

x=λv（對於標量 λ）

其中 v 是平行於（然後可能位於）直線上的向量。λ 然後是方程中的未知數。x 然後是因變數向量。

平面的向量方程

現在考慮一個平面。如果我們有兩個不平行的向量位於平面上，並且我們將它們加起來，我們可以新增一個線性組合（即，將兩個向量相加，這兩個向量只乘以標量）來選擇另一個向量。這兩個向量的線性組合下所有向量的集合形成一個平面。

更簡單地說，如果我們有兩個不平行的向量 a 和 b，我們可以透過以下方式形成任何其他平行於 a 和 b 的向量

λ₁a+λ₂b=x

其中 λ₁ 和 λ₂ 都是標量。

向量的進一步代數和幾何

我們還可以對向量執行其他運算。我們將考慮的這些運算具有非常真實且重要的幾何意義。

大小

向量的大小是它在 R⁺ 中的長度

點積

兩個向量的點積定義為它們的對應分量的乘積之和。符號上我們寫成

${\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n}$

例如，

${\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}}=3-10=-7$

點積的性質

如果我們有兩個向量a 和 b，

a · b = b · a

c(a · b) = ca·b = a·cb

其中c 是一個標量。

點積的幾何意義

兩個向量的點積有一個替代形式

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos {\theta }$

如果我們選取一個向量c=a-b 來構成一個三角形，我們可以用三角函式證明這兩種形式是等價的。

因此，角度 θ 非常重要，因為它表明兩個向量的點積與它們之間的夾角有關。更具體地說，我們可以計算兩個向量的點積 - 如果點積為零，那麼我們可以說這兩個向量是垂直的。

例如，簡單地考慮

${\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}=1-1=0$

將這些向量繪製在平面上，並自行驗證這些向量是垂直的。

叉積

叉積是一個更復雜的乘積定義，但它具有良好的幾何性質。我們只研究三維空間中的叉積，因為它是三維空間中最常用的，並且在更高維空間中難以定義。

對於一個具有三個分量的向量，叉積被定義為

${\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}$

其中

$\mathbf {i} ={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\mathbf {k} ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

如果你之前沒有接觸過矩陣，這裡有一個公式來計算以上內容...

= i $(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})$ - j$(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})$+ k $(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})$

向量叉積的性質

向量叉積有一些性質

a×b = -b×a

從上面的定義可以很容易地驗證這一點，並且

c×(a+b) = c×a+c×b

向量叉積的幾何性質

向量叉積有一些有趣的幾何性質。

如果a和b是兩個向量，a×b是垂直於這兩者的向量。現在如果我們有兩個向量，我們就有兩個垂直於a和b的向量選擇 - 如果我們交換叉積的順序，我們將得到另一個向量。

兩個向量叉積的大小是這兩個向量形成的平行四邊形的面積。

標量三重積，a·(b×c) 是這三個向量形成的平行六面體的體積。

參見

• 維基百科上的向量