電動力學/向量微積分回顧

此頁面將回顧物理學和向量微積分中一些必要的背景資訊。在本頁中，我們將廣泛使用向量場和水流之間的類比，以便您對材料獲得直觀的理解。

Del 運算元

Del 運算元，∇ 定義如下

$\nabla ={\hat {x}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\hat {z}}{\frac {\partial }{\partial z}}$

這個運算元，乍一看很讓人困惑，但它是向量和標量進行微分的方法。

梯度

當 ∇ 作用於一個標量場時，比如這樣

$\nabla \Phi ={\hat {x}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}+{\hat {y}}{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}+{\hat {z}}{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}$

它同時對標量進行所有 3 個軸（x、y、z）的微分。結果被稱為標量的“梯度”。梯度是一個向量，它指向原始標量場變化最快的方向（具有最大的導數）。

此外，$\nabla \Phi \cdot {\hat {n}}$ 給出了$\Phi$ 在${\hat {n}}$ 方向上的變化率。因此，梯度的垂直線構成等勢面，即$\Phi$ 都相等的表面。

示例 1.1
$F(x,y)=x^{2}-y^{2}$ 的繪圖和梯度 函式$F(x,y)=x^{2}-y^{2}$ 和$\nabla F$ 在相關的圖表中展示。這裡的關鍵概念是梯度的向量指向$F(x,y)$ 的更高幅度，並且向量表示該向量起點和終點之間的變化率。 如果 $F(x,y)$ 是一個均勻剛性表面，並且一個完美的球體恰好放置在 $F(2,0)$ 上，它將向 $F(-2,0)$ 移動，最終穩定在 $F(0,0)$。在這種情況下，如果 y 始終不為零，那麼球最終會從表面上掉下來。

散度

∇ 運算子可以鬆散地看作一個“向量”，其分量是偏微分運算子。如果我們對向量場執行“點積”運算，我們將得到

$\nabla \cdot A={\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}$

這被稱為向量場的“散度”。它衡量了向量從一個點的“發散”程度。它測量向量場的“源”和“匯”。想象一下一池水的速度向量場。水龍頭是正散度很大的地方，因為它是水速度場的源頭，而水槽（排水溝）是負散度很大的地方，因為這是所有水匯聚的地方。

旋度

如果我們將 ∇ 與向量場進行叉乘，我們將得到另一個重要的運算子

$\nabla \times A={\hat {x}}({\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}})+{\hat {y}}({\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}})+{\hat {z}}({\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}})$

得到的向量是原始向量的“旋度”。它測量向量場在一個點的“捲曲”或“旋轉”。因此，回到池塘的類比，漩渦將是一個旋度很大的地方。在穩定流中，旋度為 0，因為場不想圍繞那個點捲曲。

拉普拉斯運算元

上面介紹的梯度 ∇Φ 是一個向量場。如果我們求它的散度會怎樣？

$\nabla \cdot \nabla \Phi =\nabla ^{2}\Phi ={\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}$

這個重要的運算子被稱為“拉普拉斯運算元”。拉普拉斯運算元也定義了向量場

$\nabla ^{2}A={\hat {x}}\nabla ^{2}A_{x}+{\hat {y}}\nabla ^{2}A_{y}+{\hat {z}}\nabla ^{2}A_{z}$

旋度的散度

人們可能還會期望透過取旋度的散度來獲得一個重要的運算元

$\nabla \cdot (\nabla \times A)={\frac {\partial }{\partial x}}({\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}})+{\frac {\partial }{\partial y}}({\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}})+{\frac {\partial }{\partial z}}({\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}})=0$

雖然零當然是一個重要的概念，但它沒有為我們提供一個有用的運算元。然而，這個恆等式本身很有趣。事實證明，每一個無散度的向量場都是另一個向量場的旋度。

梯度的旋度

同樣地，

$\nabla \times \nabla \Phi ={\hat {x}}({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y\partial z}})+{\hat {y}}({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z\partial x}}-{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x\partial z}})+{\hat {z}}({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y\partial x}}-{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x\partial y}})=0$

事實證明，每一個沒有旋度的向量場都是一個標量場的梯度。

向量場

向量場是三維空間，其中該空間內的每個點都可以根據某個給定規則分配一個向量大小。重力是向量場的一個例子，其中重力場內的每個點都以某個力大小被拉向中心。向量場由一個三維函式表示，例如A(x, y, z)。每個三元組的函式值是該點向量場的大小。

通量

在談論向量場時，我們將討論通量的概念，尤其是電通量。我們可以定義一個給定向量場G(x, y, z)穿過一個微小面積dA的通量，該面積具有一個法向量n

$\operatorname {Flux} (dA,n)=G\cdot ndA$

我們將其讀作“穿過dA，在n方向上的通量”。

通量的概念最初來自流體力學。穿過一個小表面的通量是流經它的液體量。如果速度場很大，那麼通量自然會很大。此外，如果表面平行於速度場，那麼通量為 0，因為沒有水流經該區域。事實證明，通量在電動力學中也是一個非常有用的概念。

如果我們對這個方程關於dA積分，我們得到以下結果

$\operatorname {Flux} (A,n)=\int _{A}v\cdot dA$

我們也可以證明（雖然推導過程可能很長），流入或流出一個給定向量場 *G* 的通量可以用該向量場的散度表示。

$\operatorname {NetFlux} =\nabla \cdot G$

假設我們有一個任意體積 *V*，位於向量場 *G* 中，它被一個表面 *S* 圍繞，該表面的面積為 *A*。高斯定理指出流入該體積的通量等於流過表面 *S* 的通量。

$\int _{V}(\nabla \cdot G)dV=\int _{S,V}(v\cdot n)dA$

這個公式直觀地成立，因為正如我們之前看到的，場的散度表示場從該點擴散的程度。如果我們將體積內每個點的擴散程度加起來，這應該等於從封閉表面流出的通量。無散度的場的任何封閉表面的通量都為 0。

線積分

假設我們有一條路徑 $\gamma$，由小的長度元素 $ds$ 組成。向量場 *A* 的線積分表示場在路徑上的投影。形式上，它由下式給出

$\int _{\gamma }A\cdot ds$

假設 *A* 是一個無旋場。如上所述，這意味著它可以寫成某個場的梯度。假設 $A=\nabla \Phi$。*事實證明，*A* 沿著連線兩點的任何路徑的線積分都是相同的*。此外，

$\int _{\gamma }A\cdot ds=\Phi (b)-\Phi (a)$

其中 *a* 和 *b* 是路徑的起點和終點。此外，沿著這種場的閉合迴路的線積分始終為 0。無旋場稱為*保守場*。這個術語的來源是力學：在力學中，如果空間中的力場是無旋的，那麼你總是可以定義一個勢能函式，使得將物體從 *a* 移動到 *b* 所做的功等於勢能的差。在這種情況下，機械能是守恆的。

正如我們將看到的，靜電場是一個保守場，而磁場和一般的電場則不是。

一般來說，向量場沿著閉合迴路的線積分並不為零。然而，事實證明

$\int _{\gamma }F\cdot ds=\int _{A}(\nabla \times F)\cdot dA$。換句話說，向量場的線積分等於該場的旋度在迴路上的通量。我們透過哪個表面來求通量？任何表面都可以！迴路包圍的任何表面都可以。

我們可以這樣直觀地理解這個定理：閉合迴路的線積分就像場繞回路旋轉的程度。然而，某一點的旋度表示場圍繞該點的旋轉程度。因此，整個表面的總積分表示圍繞回路的總“旋轉”。

散度和旋度

我們已經證明，任意向量 *A* 的散度由下式給出

$\operatorname {Divergence} (A)=\nabla \cdot A$

同樣，我們定義了一個稱為旋度的運算子，它作用於向量場，定義如下

$\operatorname {Curl} (A)=\nabla \times A$

在電磁學後續章節中，我們將使用散度和旋度。

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