電子學/相量

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相量

圖一：直角座標表示

圖二：極座標表示

相量提供了一種簡單的方法來分析線性電路。相量分析的核心是尤拉公式

$Ae^{j({\omega }t+\theta )}=A\cos({\omega }t+\theta )+jA\sin({\omega }t+\theta )\,$

復指數也可以表示為

$Ae^{j({\omega }t+\theta )}=Ae^{j\theta }\cdot e^{j\omega t}$

${\tilde {A}}=Ae^{j\theta }$被稱為相量。它包含了正弦訊號幅度和相位的 資訊，但不包含頻率或時間。這簡化了在電路分析中的使用，因為大多數情況下，電路中的所有量都具有相同的頻率。（對於具有不同頻率的源的電路，必須使用疊加原理。）

相量表示的簡寫是：${\tilde {A}}=A\angle \theta$

注意，這僅僅是極座標形式，可以按照（參見圖一）將其轉換為直角座標表示

${\tilde {A}}=Ae^{j\theta }=A\angle \theta =A\cos \theta +jA\sin \theta$

反過來可以按照（參見圖二）

${\tilde {A}}=X+jY={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\angle {\tan ^{-1}{\frac {Y}{X}}}={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}e^{j\tan ^{-1}{\frac {Y}{X}}}$。讓我們瞭解這個過程是如何工作的，即使相量會導致電路發熱，穩定電流在不引起過熱的條件下，將會解釋其工作原理。根據公式，結果表明，電流使用量保持不變的時間是存在的。

正弦訊號

首先，我們必須先了解什麼是正弦訊號。正弦訊號可以表示為

$A\cos({\omega }t+\theta )\!$

其中 A 是幅度，$\omega$ 是以弧度/秒為單位的頻率，$\theta$ 是以度為單位的相角（相移）。我們可以透過取尤拉公式的實部來返回正弦訊號

$A\cos({\omega }t+\theta )={\mathfrak {Re}}(Ae^{j({\omega }t+\theta )})$

目前，考慮單頻電路。每個穩態電流和電壓將具有相同的基本形式

${\tilde {A_{i}}}e^{j{\omega }t}$ 其中 ${\tilde {A_{i}}}$ 是一個相量。所以我們可以“除以” $e^{j{\omega }t}\!$ 來得到相量電路方程。我們可以用這些方程來求解某些相量電路量 ${\tilde {Y}}$，乘以 $e^{j{\omega }t}\!$，並轉換回正弦形式以找到時域正弦穩態解。

示例

我們有三個頻率相同的正弦訊號相加

$v(t)=5\cos(200t+30^{\circ })+2\cos(200t+45^{\circ })+\cos(200t-60^{\circ })\!$

用相量表示，它是

${\tilde {V}}=5e^{j30^{\circ }}+2e^{j45^{\circ }}+e^{-j60^{\circ }}=5\angle 30+2\angle 45+\angle -60$

我們可以將這些項組合起來得到一個相量表示。首先透過分離實部和虛部來完成

${\text{X: }}5\cos(30^{\circ })+2\cos(45^{\circ })+\cos(-60^{\circ })\approx 6.2443\!$

${\text{Y: }}5\sin(30^{\circ })+2\sin(45^{\circ })+\sin(-60^{\circ })\approx 3.04819\!$

相量表示可以寫成

${\tilde {V}}=6.2443+j3.04819={\sqrt {6.2443^{2}+3.04819^{2}}}\angle {\tan ^{-1}{\frac {3.04819}{6.2443}}}$

${\tilde {V}}=6.94861\angle {26.0194}$

回到時域，我們得到答案

$v(t)=6.94861\cos(200t+26.0194^{\circ })$