電子學/RC 瞬態

對於一個由一個電阻器和一個電容器串聯組成的閉環 RC 電路。

電路阻抗

極座標形式 Z/_θ

Z=R\angle 0+{\frac {1}{\omega C}}\angle -90

Z=|Z|\angle \theta ={\sqrt {R^{2}+({\frac {1}{\omega C}})^{2}}}\angle Tan^{-}1{\frac {1}{\omega RC}}

複數形式 Z(jω)

Z=Z_{R}+Z_{C}=R+{\frac {1}{j\omega C}}={\frac {1}{j\omega C}}(1+j\omega RC)

T = RC

C{\frac {dV}{dt}}+{\frac {V}{R}}=0

{\frac {dV}{dt}}=-{\frac {1}{RC}}V

{\frac {1}{V}}dV=-{\frac {1}{RC}}dt

\int {\frac {1}{V}}dV=-\int {\frac {1}{RC}}dt

\ln V=-{\frac {1}{RC}}t+C

V=e^{(}{\frac {-t}{RC}}+C)=e^{C}\cdot e^{\frac {-t}{RC}}

V=Ae^{\left({\frac {-t}{RC}}\right)}=Ae^{\left({\frac {-t}{T}}\right)}

T = R C

電流在一定角度上領先電壓；這是否意味著測量直流電流的角度會導致電流減小？讓我們花點時間來理解之前在確定正弦解的因子方面的數學知識。

Tan\theta ={\frac {1}{\omega RC}}={\frac {1}{f}}{\frac {1}{2\pi RC}}=t{\frac {1}{2\pi RC}}

改變R和C的值將改變角度差、角頻率、頻率和時間的值。

\omega ={\frac {1}{RC}}{\frac {1}{Tan\theta }}

f={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{RC}}{\frac {1}{Tan\theta }}

t=2\pi RCTan\theta

u

當開關開啟時，電容器上的初始電壓為零。當開關閉合時（我們將其稱為時間零），電容器透過電阻器充電至 $V_{0}$ .

當開關閉合時，電路必須遵循以下關係

V_{0}=v_{c}(t)+i_{c}(t)R

V_{0}=v_{c}(t)+{\frac {dv_{c}(t)}{dt}}RC

這是透過使用基爾霍夫電壓定律分析電路推匯出來的。

令 $\tau =RC$ 並重新排列方程

{\frac {dv_{c}(t)}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}v_{c}(t)={\frac {1}{\tau }}V_{0}

這是一個一階線性微分方程，其積分因子為

e^{\int {\frac {1}{\tau }}dt}

e^{\frac {t}{\tau }}

將兩邊乘以積分因子

{\frac {dv_{c}(t)}{dt}}e^{\frac {t}{\tau }}+{\frac {1}{\tau }}v_{c}(t)e^{\frac {t}{\tau }}={\frac {1}{\tau }}V_{0}e^{\frac {t}{\tau }}

注意

{\frac {d}{dt}}[e^{t/\tau }v_{c}(t)]={\frac {dv_{c}(t)}{dt}}e^{\frac {t}{\tau }}+{\frac {1}{\tau }}v_{c}(t)e^{\frac {t}{\tau }}

代入並對兩邊積分

e^{\frac {t}{\tau }}v_{c}(t)=V_{0}e^{\frac {t}{\tau }}+K

其中 K 是積分常數。

當 t=0 時

v_{c}(0)=0

因此

K=-V_{0}

當 t>0 時，得到

e^{\frac {t}{\tau }}v_{c}(t)=V_{0}e^{\frac {t}{\tau }}-V_{0}

v_{c}(t)=V_{0}-V_{0}e^{-{\frac {t}{\tau }}}

v_{c}(t)=V_{0}(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}})

當 t<0 時

v_{c}(t)=0