工程聲學/聲速

當聲波在介質中傳播時，它們會導致介質中的壓力、密度、溫度和粒子速度發生波動。介質中的總壓力， $P$ ，可以表示為

$P=P_{o}+p'$

其中 $P_{o}$ 是靜水壓力或環境壓力， $p'$ 是聲壓或壓力波動。

靜水壓力可以看作平均壓力，而聲壓代表平均壓力周圍的波動。類似地，密度、溫度和粒子速度也分成平均值和波動分量。

$\rho =\rho _{o}+\varrho '$

$T=T_{o}+T'$

${\vec {U}}={\vec {u}}_{o}+{\vec {u}}'$

其中 $\rho _{o}$ 是環境密度； $\varrho '$ ，密度波動； $T_{o}$ ，環境溫度； $T'$ ，溫度波動； ${\vec {u}}_{o}$ ，平均速度；和 ${\vec {u}}'$ ，粒子速度。請注意，壓力、密度和溫度是標量，而粒子速度是向量。

讓我們考慮一個在充滿靜止流體的管道中沿 x 方向傳播的平面波 ( ${\vec {u}}_{o}=0$ )，該管道具有恆定的壓力、密度和溫度 ( $P_{o}$ ， $\rho _{o}$ ，以及 $T_{o}$ ）。當波以速度 $c_{o}$ 透過流體傳播時，它會在前面最初靜止的流體中產生無窮小的波動。描述流體的四個量都在其平均值附近變化，增加或減少取決於流體是受到壓縮還是膨脹。為了獲得傳播速度 $c_{o}$ 的關係，使用了慣性參考系，並在波周圍繪製了一個控制體積。

應用連續性方程，

$\rho _{o}c_{o}A=(\rho _{o}+\varrho ')(c_{o}-u')A$

忽略高階項，

$\rho _{o}u'=c_{o}\varrho '$

應用動量守恆定律，

$P_{o}+\rho _{o}c_{o}^{2}=P_{o}+p'+(\rho _{o}+\varrho ')(c_{o}-u')^{2}$

忽略高階項，

$\rho _{o}c_{o}^{2}=p'+(\rho _{o}+\varrho ')(c_{o}^{2}-2c_{o}u')$

$0=p'+-2c_{o}\rho _{o}u'+\varrho 'c_{o}^{2}$ ,

並使用連續性方程，

$c_{o}^{2}={\frac {p'}{\varrho '}}$

聲速與壓力波動（聲壓）與密度波動的比率有關。鑑於聲速始終為正值，流體壓力的增加意味著流體密度的增加，反之亦然。總壓力用關於環境密度的泰勒級數展開式表示，以將它無窮小的波動與總壓力和密度相關聯。

$P(\rho _{o}+\varrho ')=P_{o}+p'=P(\rho _{o})+{\frac {\partial P(\rho _{o})}{\partial \rho }}\varrho '+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}P(\rho _{o})}{\partial \rho ^{2}}}\varrho '^{2}+...$